Question

Numa progressão aritmética a1+a5=16 e a5+a9=40. o primeiro termo e a razão sao??????

Answer 1

Olá.

Para resolver essa questão, temos de decompor os termos a partir do termo geral, que apresento abaixo:

$\mathsf{a_n=a_1+(n-1)\times r}$

Onde:

aₙ: n-ésimo termo;
a₁: primeiro termo;
n: número do termo de aₙ;
r: razão.

A razão (r) consiste na diferença entre dois termos/posições numéricas. De modo algébrico, podemos representar como:

$\mathsf{r=a_n-a_{n-1}}$

Vamos fatorar os termos dados.

$\mathsf{a_1+a_5=16}\\\\ \mathsf{a_1+a_1+4r=16}\\\\ \mathsf{2a_1+4r=16}$

$\mathsf{a_5+a_9=40}\\\\ \mathsf{a_1+4r+a_1+8r=40}$

Nessa última, podemos agrupar o que foi semelhante ao primeiro e substituir pelo valor final, ou seja, agrupar 2a₁ + 4r e substituir por 16. Teremos:

$\mathsf{a_1+4r+a_1+8r=40}\\\\ \mathsf{2a_1+4r+8r=40}\\\\ \mathsf{(2a_1+4r)+8r=40}\\\\ \mathsf{(16)+8r=40}\\\\ \mathsf{8r=40-16}\\\\ \mathsf{8r=24}\\\\ \mathsf{r=\dfrac{24}{8}}\\\\ \boxed{\mathsf{r=3}}$

A razão é 3. Substituindo nos primeiros termos calculados, teremos o valor do primeiro termo. Vamos aos cálculos.

$\mathsf{2a_1+4r=16}\\\\ \mathsf{2a_1+4(3)=16}\\\\ \mathsf{2a_1+12=16}\\\\ \mathsf{2a_1=16-12}\\\\ \mathsf{2a_1=4}\\\\ \mathsf{a_1=\dfrac{4}{2}}\\\\ \boxed{\mathsf{a_1=2}}$

O valor do primeiro termo é 2.

Vamos testar?

Para isso, escolho a operação com o quinto e nono termo. Vamos aos cálculos. 

$\mathsf{a_5+a_9=40}\\\\ \mathsf{(a_1+4r)+(a_1+8r)=40}\\\\ \mathsf{2a_1+12r=40}\\\\ \mathsf{2(2)+12(3)=40}\\\\ \mathsf{4+36=40}\\\\ \mathsf{40=40~\checkmark}$

Testado e aprovado.

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos;