Question

numa progresao geometrica de 4 termos positivos a soma dos dois primeiros vale 1 e a soma dos dois últimos vale 9. Calcule o valor da razão da progressão.​

Answer 1

Sendo a PG {a1 , a2 , a3 , a4}, podemos reescrever os termos a2, a3 e a4 em função de a1 e da razão da PG, utilizando a equação do termo geral, acompanhe:

$\boxed{a_n~=~a_1~.~q^{n-1}}\\\\\\a_2~=~a_1~.~q^{2-1}\\\\\boxed{a_2~=~a_1~.~q}\\\\\\a_3~=~a_1~.~q^{3-1}\\\\\boxed{a_3~=~a_1~.~q^2}\\\\\\a_4~=~a_1~.~q^{4-1}\\\\\boxed{a_4~=~a_1~.~q^3}$

Utilizando agora as relações dadas no enunciado:

$a_1+a_2~=~1\\\\a_1+(a_1~.~q)~=~1\\\\\boxed{a_1~.~(1+q)~=~1}\\\\\\a_3+a_4~=~9\\\\(a_1~.~q^2)+(a_1~.~q^3)~=~9\\\\a_1~.~(q^2+q^3)~=~9\\\\\boxed{a_1~.~q^2~.~(1+q)~=~9}$

Perceba que temos duas equações e duas incógnitas (a1 e q), ou seja, temos um sistema de equações.

Note também que temos termos semelhantes nas duas equações, sendo assim, vamos dividir a 2ª equação pela 1ª equação:

$\frac{a_1~.~q^2~.~(1+q)}{a_1~.~(1+q)}~=~\frac{9}{1}\\\\\\\frac{1~.~q^2~.~1}{1~.~1}~=~9\\\\\\q^2~=~9\\\\\\q~=~\pm\sqrt{9}\\\\\\\boxed{q~=~\pm 3}$

Achamos duas possíveis respostas, -3 e +3. Para determinarmos qual é a certa, utilizamos outra informação dada no enunciado "...de 4 termos positivos...". Se os termos são positivos, não podemos ter uma razão negativa, portanto a resposta certa é +3.

Resposta: A razão vale 3.