Question

Numa população, os conteúdos de glicose no sangue de pessoas normais têm distribuição normal com média 120mg/100ml e desvio padrão de 8mg/100ml.
A) Dentre as pessoas normais que apresentam conteúdos de glicose entre 90mg/100ml e 110mg/100ml, qual a porcentagem de pessoas com mais de 100mg/100ml de glicose no sangue?
B) Se uma amostra de cem pessoas normais for observada, qual a probabilidade de que o conteúdo de médio de glicose nessa amostra seja superior a 121,4 mg/100ml?

Answer 1

A distribuição de probabilidade é dada pela função normal com média 120 e desvio padrão 8:

$N = \dfrac{1}{\sqrt{2 \cdot \pi} \cdot 8} \cdot \exp\left(-\dfrac{(x-120)^2}{2 \cdot 8^2}\right)$

A) Nesse caso, o percentual será dado pelo seguinte cálculo:

$P = \dfrac{P(\text{glicose entre 100 mg e 110 mg})}{P(\text{glicose entre 90mg e 110mg})}$

Ou seja:

$P = \dfrac{\int_{100}^{110}\dfrac{1}{\sqrt{2 \cdot \pi} \cdot 8} \cdot \exp\left(-\dfrac{(x-120)^2}{2 \cdot 8^2}\right) \cdot dx}{\int_{90}^{110}\dfrac{1}{\sqrt{2 \cdot \pi} \cdot 8} \cdot \exp\left(-\dfrac{(x-120)^2}{2 \cdot 8^2}\right) \cdot dx}$

(Eu não vou calcular a integral aqui, você pode encontrar o resultado utilizando alguns sites online ou utilizando ferramenta computacional Mathematica, Matlab, Python, etc).

$P = \dfrac{0.0994}{0.1056}$

$P =0.941287$

B) Nesse parte você pode utilizar o Teorema do Limite Central.

Sabendo que a amostra é de 100 pessoas, calculamos um novo desvio padrão:

$\sigma_X = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

$\sigma_X = \dfrac{8}{\sqrt{100}}$

$\sigma_X = \dfrac{8}{10}$

$\sigma_X = 0.8$

E então basta calcular a integral:

$I = \int_{121.4}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{2 \cdot \pi} \cdot 0.8} \cdot \exp\left(-\dfrac{(x-120)^2}{2 \cdot 0.8^2}\right) \cdot dx$

Cujo resultado é 0.0401.