Question

Numa pirâmide triangular regular, o perímetro da base é 18m e a área total é 3/2 da área lateral. O volume da pirâmide é:

Answer 1

Uma pirâmide triangular regular possui como base um triângulo regular, ou seja, um triângulo equilátero.

O perímetro da base é 18 m:

$2P=18~m\\l+l+l=18\\3l=18\\l=6~m$
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Primeiramente, vamos achar a área da base da pirâmide:

$A_{b}=A_{tri\^angulo~equil\'atero}\\\\A_{b}=\dfrac{l^{2}\sqrt{3}}{4}\\\\\\A_{b}=\dfrac{6^{2}\sqrt{3}}{4}\\\\\boxed{\boxed{A_{b}=9\sqrt{3}~m^{2}}}$

A área lateral dessa pirâmide é a soma das áreas de 3 faces laterais, que são triângulos de base 6 m (aresta da base) e altura M (apótema da pirâmide)

$A_{T}=3*A_{face~lateral}\\\\A_{T}=3*\dfrac{6*M}{2}\\\\\boxed{\boxed{A_{T}=(9M)~m^{2}}}$
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A área total é 3/2 da área lateral:

$A_{T}=\dfrac{3}{2}*A_{L}\\\\\\A_{b}+A_{L}=\dfrac{3A_{L}}{2}\\\\\\A_{b}=\dfrac{3A_{L}}{2}-A_{L}\\\\\\A_{b}=\dfrac{A_{L}}{2}\\\\\\\boxed{A_{L}=2A_{b}}$

Substituindo os valores:

$9M=2*9\sqrt{3}\\M=2\sqrt{3}~m$
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Temos a seguinte relação (vem do teorema de pitágoras) nas pirâmides regulares:

$M^{2}=h^{2}+a^{2}$

Onde 'a' é o apótema da base

O apótema de um triângulo equilátero é 1/3 de sua altura. A altura de um triângulo equilátero é dada por l√3 / 2:

$a=\dfrac{1}{3}*h_{t}\\\\\\a=\dfrac{1}{3}*\dfrac{l\sqrt{3}}{2}\\\\\\a=\dfrac{l\sqrt{3}}{6}\\\\\\a=\dfrac{6\sqrt{3}}{6}\\\\\boxed{\boxed{a=\sqrt{3}~m}}$

Voltando:

$M^{2}=h^{2}+a^{2}\\(2\sqrt{3})^{2}=h^{2}+(\sqrt{3})^{2}\\4*3=h^{2}+3\\12=h^{2}+3\\h^{2}=12-3\\h^{2}=9\\h=3~m$
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Finalmente, achando o volume da pirâmide:

$V=\dfrac{A_{b}*h}{3}\\\\\\V=\dfrac{9\sqrt{3}*3}{3}\\\\\\\boxed{\boxed{V=9\sqrt{3}~m^{3}}}$