Question

Numa piramide quadrangular regular p1, uma diagonal da base mede 12cm e uma aresta lateral vale 10cm, essa piramide é seccionada por um plano paralelo a sua base originando um tronco T e uma nova piramide p2 de aresta da base igual a 3√¯2/2cm
Nesse contexto assinale o que for correto:
1)a aresta lateral de p2 é menor que 3cm
2)a razao entre a altura de p1 e a altura de T é 2
4)o volume de T é igual a 189cm3
8)a razão entre o volume de p1 e o volume de p2 é 64
16)o volume de p2 vale 3cm3

Gostaria da Resolução, agradeço desde ja!

Answer 1

Pelas opções de resposta, temos que calcular a aresta lateral de p₂, as alturas da pirâmide e do tronco, e o volume das pirâmides.

Primeiro, vamos calcular a aresta da base da pirâmide p₁.

d = l₁√2

12 = l₁√2

l₁ = 12/√2

l₁ = 6√2 cm

Agora, a altura de p₁.

10² = h₁² + (d/2)²

100 = h₁² + (12/2)²

100 = h₁² + 6²

100 = h₁² + 36

h₁² = 100 - 36

h₁² = 64

h₁ = √64

h₁ = 8 cm

Agora, a área da base de p₁.

Ab(p₁) = l₁²

Ab(p₁) = (6√2)²

Ab(p₁) = 72 cm²

O volume de p₁.

V(p₁) = Ab·h/3

V(p₁) = 72·8/3

V(p₁) = 192 cm³

Área da base de p₂.

Ab(p₂) = l₂²

Ab(p₂) = (3√2/2)²

Ab(p₂) = 9·2/4

Ab(p₂) = 4,5 cm²

A partir da medida da aresta da base de p₂, podemos calcular sua diagonal.

d = l₂√2

d = 3√2/2·√2

d = 6/2 ⇒ d = 3 cm

Agora, por semelhança de triângulos, faremos uma proporção para encontrar a altura de p₂.

h₂ / l₂/2 = h₁ / l₁/2

h₂ / 3√2/4 = 8 / 3√2

3√2·h₂ = 3√2/4·8

h₂ = 6√2/3√2

h₂ = 36/18 cm

h₂ = 2 cm

Agora, calculamos o volume de p₂.

V(p₂) = Ab(p₂)·h₂/3

V(p₂) = 4,5·2/3

V(p₂) = 9/3

V(p₂) = 3 cm³

Agora, calculamos a aresta lateral de p₂.

x² = h₂² + 1,5²

x² = 3² + 1,5²

x² = 9 + 2,25

x² = 11,25

x = √11,25 ⇒ x = 3,35 cm

1) A aresta lateral de p₂ é menor que 3 cm. (FALSO)

2) A razão entre a altura de p₁ e a altura de T é 2.

A altura do tronco é:

h₁ - h₂ = 8 - 2 = 6 cm

h₁/ht = 8/6 = 2/3 (FALSO)

4) O volume do tronco é a diferença entre o volume de p₁ e o volume de p₂.

Vt = 192 - 3

Vt = 189 cm² (VERDADEIRO)

8) a razão entre o volume de p₁ e o volume de p₂ é 64.

p₁/p₂ = 192/3 = 64 (VERDADEIRO)

16) o volume de p₂ vale 3 cm³ (VERDADEIRO)

SOMA: 4 + 8 + 16 = 28