Question

Numa piramide quadrangular regular as arestas da base mede 10cm e altura 12cm.
Calcule:
a area lateral, total e o volume

Answer 1

Notação:

$a_{base}$: Aresta da base
$a$: Apótema da base
$M$: Apótema da pirâmide
$h$: Altura da pirâmide
______________________________

Calculando a área lateral da pirâmide:

A área lateral dessa pirâmide é a soma das áreas de 4 (qtd. de lados da base) triângulos de altura M (apótema da pirâmide) e base 10 cm (aresta da base)

Primeiramente, vamos achar o apótema da base:
O apótemma de um quadrado é a metade de seu lado:

$a=\dfrac{a_{base}}{2}=\dfrac{10}{2}=5~cm$

Podemos achar o apótema da pirâmide pela seguinte relação (Pitágoras):

$M^{2}=h^{2}+a^{2}\\M^{2}=12^{2}+5^{2}\\M^{2}=144+25\\M^{2}=169\\M=\sqrt{169}\\M=13~cm$

Área lateral:

$A_{lateral}=4\cdot A_{tri\^angulo}=4\cdot\left(\dfrac{a_{base}\cdot M}{2}\right)=2\cdot a_{base}\cdot M\\\\A_{lateral}=2\cdot10\cdot13\\\\\boxed{\boxed{A_{lateral}=260~cm^{2}}}$

Calculando a área total da pirâmide:

A área total da pirâmide será dada pela soma entre a área lateral e a área da base

Área da base da pirâmide:

$A_{base}=A_{quadrado}=(a_{base})^{2}=10^{2}=100~cm^{2}$

Área total da pirâmide:

$A_{total}=A_{base}+A_{lateral}=100+260\\\\\boxed{\boxed{A_{total}=360~cm^{2}}}$

Calculando o volume da pirâmide:

O volume de uma pirâmide é (1 / 3) da área da base multiplicada pela altura:

$V=\dfrac{A_{base}\cdot h}{3}\\\\\\V=\dfrac{100\cdot12}{3}\\\\\\V=100\cdot4\\\\\\\boxed{\boxed{V=400~cm^{3}}}$