Question

Numa pirâmide quadrangular regular, a soma de todas as suas arestas mede 176 cm. Sabendo que a aresta lateral é igual a 5/6 da aresta da base, calcule:

a) a medida da altura da pirâmide b) a área total da pirâmide

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Temos 2 dados importantes:

1. A soma de todas as arestas, que chamaremos de Sa, Sa = 176cm

2. A aresta da base (b) e a aresta lateral (L) possuem uma relação, sendo que: L = $\frac{5b}{6}$

Com estes dados podemos descobrir a medida das arestas e calcular o que se pede.

Passo 1: Calculando a medida das arestas, conforme a imagem, uma pirâmide de base quadrangular tem 8 arestas, 4 arestas da base e 4 arestas laterais:

4b + 4L = 176, com L = $\frac{5b}{6}$, temos

4b + 4*$\frac{5b}{6}$ = 176

4b + $\frac{20b}{6}$ = 176, fazendo o m.m.c.

$\frac{24b}{6} +\frac{20b}{6} =\frac{1056}{6}$

44b = 1056

b = 24cm

L = $\frac{5b}{6}$ = $\frac{120}{6}$ = 20

L = 20cm

Passo 2: Calculando a altura da pirâmide

Para isto iremos utilizar o triângulo retângulo formado pela a aresta lateral (hipotenusa), metade da diagonal da base e altura (catetos):

L² = d² + h²

20² = (12$\sqrt{2}$)² + h²

h² = 400 - 288 = 112

h = $\sqrt{112}$

h = 4$\sqrt{7}$

Passo 3: Calculando a área total da Pirâmide:

Numa pirâmide de base quadrada, a área total é igual a área da base (quadrado) somada as áreas das faces laterais (4 triângulos).

Temos que At = Ab + 4*AL, onde Ab = b² e AL = $\frac{L*h}{2}$

At = b² + 4*$\frac{L*h}{2}$

At = 24² + $\frac{4*20*4}{2}$*$\sqrt{7}$

At = 576 + 160$\sqrt{7}$