Question

Numa pirâmide hexagonal regular, a aresta da base mede 2 . Sabendo-se que a área lateral da pirâmide é 30 2 , calcular o volume da pirâmide.
Bom Trabalho!!!​

Answer 1

Resposta:

$\sqrt{3}$   cm³ ( valor exato )   ou 1,73 cm³ ( valor aproximado )

Explicação passo a passo:

Dados:

Pirâmide de base hexagonal regular

aresta da base = 2 cm

área lateral = 30 cm²

Pedido:

Volume da pirâmide

Resolução:

A fórmula para o volume de uma pirâmide é:

$Volume(piramide) = \frac{1}{3} *area ...da...base* altura$

Quanto à área da base, um hexágono regular, rapidamente se determina se

usarmos uma fórmula que a dá diretamente, onde "a" é a aresta.

$area...da....base= \frac{3*a*\sqrt{3} }{2}$

$area...da....base= \frac{3*2*\sqrt{3} }{2}=3\sqrt{3}...cm^2$

( o 2 do numerador cancelou-se com o 2 no denominador)

O cálculo da altura da pirâmide vai ser mais trabalhoso.

Vou fazer um primeiro esboço

                       A

                        |\

                        |     \

                        |         \

                        |              \

                        |________\

                       B                  C

[AB] altura da pirâmide

[ BC ] altura de um triângulo dos 6 triângulos equiláteros em que se  divide o hexágono ( a base )

[ AC ] altura de uma face lateral, que é um triângulo isósceles

Cálculo de [ BC ]

A base sendo um hexágono regular , este divide-se em 6 triângulos

equiláteros.

Esboço de um desses triângulos

                       B

                       º

                    º  |    º

                 º     |        º

              º        |            º

           º           |                 º

        ºººººººººº|ºººººººººººººº

       G              C                     H

Dados:

[GH] = aresta do hexágono = 2 cm

[BG] = [ BH ] = [GH]  = 2 cm   ( triângulo equilátero)

ângulo BCH = 90º

[CH] = 1 cm

porque num triângulo equilátero a altura divide a base em dois segmentos

de reta iguais.

Com recurso ao Teorema de Pitágoras vou determinar [BC]

[BH]² =  [CH]² + [BC]²

2² = 1² +  [BC]²

4 - 1 =  [BC]²

[BC] = √3  cm

Cálculo  de [ AC ]

que é altura de uma face lateral, que é um triângulo isósceles.

Desse triângulo sabemos:

→ a base, que é uma das arestas do hexágono

→ área deste triângulo = 30/6 = 5 cm²

( é dada a área lateral, 30 cm² ; como existem 6 faces laterais iguais,

a área de cada face resulta de dividir a área lateral total por 6.

                      A

                       º

                    º  |    º

                 º     |        º

              º        |            º

           º           |                 º

        ºººººººººº|ºººººººººººººº

       M              C                     N

[MN] = 2 cm  porque é uma aresta da base

Área de AMN = 5 cm²

Área de AMN  = ( [MN] * [AC] ) / 2

$5=\frac{2*[AC]}{2}$

O 2 do numerador cancela-se com o 2 no divisor.

[AC] = 2 cm  

Cálculo de [AB] altura da pirâmide

Finalmente está-se em condições de calcular altura da pirâmide

                       A

                        |\

                        |     \

                        |         \

                        |              \

                        |________\

                       B                  C

ângulo ABC = 90º

Aplicação direta do teorema de Pitágoras.

[AC]² = [AB]² + [BC]²

2² = [AB]² + (√3) ²

4 - 3 =  [AB]²

[AB] = √1 = 1 cm

$Volume(piramide) = \frac{1}{3}*3\sqrt{3} *1= \frac{3\sqrt{3} }{3} =\sqrt{3} ...cm^{3}$

Valor exato √3 cm³.

Valor aproximado 1,73205080  ou seja 1,73 cm³ ( aproximado )

…

Bons estudos.

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Símbolos :   ( * ) multiplicação     ( / )   divisão    (......)  pontos para separar as

palavras