Question

Numa PG o segundo termo é igual a 1/100 e o quinto igual a 10. Calcule a soma dos seis primeiros termos dessa P.G?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Srtwalker, que a resolução é simples.
Tej-se que numa PG o segundo termo (a₂) é igual a "1/100" e o 5º termo (a₅) é igual a "10".
Pede-se a soma dos SEIS primeiros termos dessa PG.

Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Numa PG o termo geral é dado por:

an = a₁*qⁿ⁻¹ .

Assim, tendo a fórmula acima como parâmetro, então o segundo termo será dado assim:

a₂ = a₁*q²⁻¹
a₂ = a₁*q¹ -- ou apenas:
a₂ = a₁*q ---- como já vimos que o segundo termo (a₂) é igual a "1/100", então teremos;

1/100 = a₁*q ---- ou, invertendo-se, teremos;

a₁*q = 1/100      . (I)

ii) Se o quinto termo (a₅) é igual a "10", então o 5º termo será:

a₅ = a₁*q⁵⁻¹
a₅ = a₁*q⁴ ---- como já vimos que "a₅" é igual a 10, então teremos;
10 = a₁*q⁴  --- ou, invertendo-se:
a₁*q⁴ = 10    . (II)

iii) Agora veja: ficamos com um sistema formado pelas expressões (I) e (II) acima e que são estas;

a₁*q = 1/100      . (I)
a₁*q⁴ = 10          . (II)

Vamos fazer o seguinte: vamos dividir, membro a membro, a expressão (II) pela expressão (I), com o que ficaremos assim:

a₁*q⁴ = 10 ------ [esta é a expressão (II) normal]
a₁*q = 1/100 --- [esta é a expressão (I) normal]
--------------------------- dividindo-se membro a membro, dicaremos com:

q⁴/q¹ = 10¹/(1/100) ----- note que 1/100 = 1/10² = 10⁻² . Assim, ficaremos com:
q⁴/q¹ = 10¹/10⁻²

Agora veja que ficamos, tanto no primeiro membro, como no 2º membro, com uma divisão de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e subtraem-se os expoentes. Logo:

q⁴⁻¹ = 10¹⁻⁽⁻²⁾
q³ = 10¹⁺²
q³ = 10³ ---- como os expoentes são iguais,então poderemos igualar as bases. Logo:

q = 10 <--- Esta é a razão da PG da sua questão.

iv)) Agora vamos encontrar o valor do primeiro termo (a₁). Para isso, basta irmos em quaisquer uma das expressões [ou na (I) ou na (II)] e, em quaisquer uma delas, substituiremos "q" por "10". Vamos na expressão (I), que é esta:

a₁*q = 1/100 ---- substituindo-se "q" por "10", teremos;
a₁*10 = 1/100 ---- isolando "a₁", ficaremos com:
a₁ = (1/100)/10 --- ou, o que é a mesma coisa:
a₁ = 1/100*10
a₁ = 1/1.000 <--- Este é o valor do primeiro termo.

v) Como já temos  que a razão (q) é igual a "10" e como já temos que o primeiro termo (a₁) é igual a "1/1.000", então vamos à soma dos 6 primeiros termos dessa PG. Lembre-se que a soma dos "n" primeiros termos de uma PG é dada assim:

Sn = a₁*[qⁿ - 1]/(q-1) ----- fazendo-se as devidas substituições para encontrar a soma dos 6 primeiros termos, teremos:

S₆ = (1/1.000)[10⁶ - 1]/(10-1)
S₆ = (1/1.000)*[1.000.000 - 1]/(9)
S₆ = (1/1.000)*[999.999]/9 ------ ou apenas:
S₆ = (1/1.000*)*999.999/9 ---- note que" 999.999/9 = 111.111. Assim:
S₆ = (1/1.000)*111.111 ---- efetuando este produto, teremos;
S₆ = 1*111.111/1.000
S₆ = 111.111/1.000 ---- note que esta divisão dá exatamente "111,111". Logo:
s₆ = 111,111 <--- Esta é a resposta. Esta é a soma pedida dos 6 primeiros termos da PG da sua questão.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.