Question

Numa PG de razão q, sabe-se que a1 = 1/q, a1×an =(2/3)^5 e Pn = q^20 . Calcule: a) O valor de n b) O valor de a1 c) O valor de q d) O valor de Pn

Answer 1

Olá

Temos que a fórmula da Progressão Geométrica é:

$a_n = a_1 . q^{n-1}$

Daí, temos que $a_{1}.a_{n} = (\frac{2}{3})^{5}$. 

Como $a_1 = \frac{1}{q}$, então $\frac{a_n}{q} = ( \frac{2}{3} )^{5}$. Portanto, $a_n = ( \frac{2}{3})^{5} . q$

Logo, temos que:

$a_n = a_1 . q^{n-1}$
$(\frac{2}{3})^{5}.q = \frac{1}{q}.q^{n-1}$
$( \frac{2}{3})^{5}.q = q^{n-2}$
$( \frac{2}{3})^{5} = \frac{q^{n-2}}{q}$
$( \frac{2}{3})^{5} = q^{n-3}$

Daí temos que:

para que os dois lados sejam iguais, n = 8 e $q = \frac{2}{3}$.

$a_1 = \frac{1}{ \frac{2}{3} } = \frac{3}{2}$

e $Pn = ( \frac{2}{3})^{20}$

Portanto:

a) 5
b) $\frac{3}{2}$
c) $\frac{2}{3}$
d) $( \frac{2}{3})^{20}$