Question

Numa PG de cinco termos, a soma dos dois primeiros é 32 e a soma dos dois últimos é 120. Qual é o valor do terceiro termo da PG?

Answer 1

Tem-se que numa PG de 5 termos, a soma dos dois primeiros (a1 + a2) é igual a 32. E a soma dos dois últimos (a4 + a5) é igual a 120. Assim, temos que: 

a1 + a2 = 32 
a4 + a5 = 120 

Veja que: 

a2 = a1.q 
a4 = a1.q³ 
a5 = a1.q^4 
Assim, ficamos com: 

a1 + a1.q = 32 . (I) 
a1.q³ + a1.q^4 = 120 . (II) 

Em (I), vamos colocar "a1" em evidência. E, em (II), vamos colocar a1.q³ em evidência, ficando: 

a1.(1 + q) = 32 . (I) 
a1.q³.(1 + q) = 120 . (II) 

Agora vamos dividir, membro a membro, (II) por (I), ficando: 

a1.q³.(1 + q) = 120 
a1 . (1 + q) = 32 
--------------------------------dividi... membro a membro, temos: 
q³ = 120/32 
q³ = 3,75 
..........____ 
q = ³V3,75 
q = 1,554 (aproximadamente) 

Como já temos o valor de "q", vamos para uma das duas igualdades (I ou II) e, lá, vamos substituir "q" por 1,554. Vamos lá em (I), que está mais fácil. Assim: 


a1 + a1.q = 32 -----substituindo "q" por "1,554", temos: 
a1 + a1*1,554 = 32 
a1 + 1,554a1 = 32 ------pondo "a1" em evidência, ficamos com: 
a1.(1 + 1,554) = 32 
a1.(2,554) = 32 
a1 = 32/2,554 
a1 = 12,53 (aproximadamente) 

Como já temos a1, que é 12,53 e já temos "q", que é 1,554, então o a3 será 

a3 = a1.q². Logo: 

a1.q² = (12,53)*(1,554)² 
a1.q² = (12,53)*(2,415) 
a1.q² = 30,26 (aproximadamente) <----Essa é a resposta. Esse é o valor de a3. 

Bem, a resposta já está dada. Agora, só por curiosidade, vamos saber qual é essa PG, com seus 5 termos: 

(12,53; 19,47; 30,26; 47,03; 73,07) 
Veja que, realmente, a1+a2 = 32. Veja: 12,53+19,47 = 32 
E veja que, realmente, a4 + a5 = 120. Veja: 47,02+73,07 = 120,09, o que arredondamos p/ 120. 
E, finalmente, veja que o a3 é realmente igual a 30,26, como encontramos anteriormente. 

OK?