Question

numa PG crescente o terceiro termo e 48 e o 5º é 768 qual é o valor do quarto termo?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Marialaura, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se o valor do 4º termo (a₄) de uma PG CRESCENTE, sabendo-se que o seu 3º termo (a₃) é igual a 48 e o 5º termo (a₅) é igual a 768.

ii) Antes de iniciar, veja que o termo geral de uma PG é dado pela seguinte fórmula:

a ̪  = a₁*q⁽ⁿ⁻¹⁾ ----- em que "a ̪ " é o termo que você procura, "a₁" é o primeiro termo, "q" é a razão da PG e "n" é o número de termos. Note que o símbolo * quer dizer vezes.

iii) Assim, fica fácil saber qualquer termo de uma PG. Por exemplo: se você quer o 3º termo e o 5º termo, então basta substituir o "n" por "3" e por "5", respectivamente. Veja:

a₃ = a₁*q⁽³⁻¹⁾
a₃ = a₁*q²       . (I)

e

a₅ = a₁*q⁽⁵⁻¹⁾
a₅ = a₁*q⁴       . (II)

iv) Então veja que ficamos com um sistema formado pelas expressões (I) e (II) acima, e que são estas:

a₃ = a₁*q²
a₅ = a₁*q⁴

Como já vimos que a₃ = 48 e que a₅ = 768, então poderemos reescrever o sistema acima, substituindo-se "a₃" e "a₅" por seus valores. Fazendo isso, iremos ter:

a₁*q² = 48        . (I)
a₁*q⁴ = 768      . (II)

Vamos fazer o seguinte: dividiremos, membro a membro, a expressão (II) pela expressão (I). Fazendo isso, teremos:

a₁*q⁴ = 768 ---- [esta é a expressão (II) normal]
a₁*q² = 48  ----- [esta é a expressão (I) normal]
------------------ dividindo-se membro a membro, ficamos apenas com:
q⁴/q² = 768/48 ---- (note que o a₁ desapareceu porque simplificamos
a₁ do numerador com a₁ do denominador, ok?) ---- Então ficamos apenas com:

q⁴/q² = 768/48 ---- efetuando esta divisão ficaremos apenas com:
q⁴⁻² = 16
q² = 16 ---- isolando "q", teremos:
q = ± √(16) ----- como √(16) = 4, teremos:
q = ± 4 ---- mas como a PG é crescente, então a razão é positiva. Logo, tomando-se apenas a raiz positiva, temos que a razão (q) será:

q = 4 <---- Este é o valor da razão da PG da sua questão.

v) Agora vamos encontrar o valor do primeiro termo (a₁). Para isso, basta irmos em quaisquer uma das expressões [ou na (I) ou na (II)] e, em quaisquer uma delas, substituiremos "q" por "4".
Vamos na expressão (I), que é esta:

a₁*q² = 48 ----- substituindo-se "q" por "4", teremos:
a₁*4² = 48
a₁*16 = 48
a₁ = 48/16
a₁ = 3 <---- Este é o valor do primeiro termo da PG da sua questão.

v) Finalmente, agora vamos dar o valor do 4º termo pedido, pois já temos o valor do primeiro termo (a₁ = 3) e já temos o valor da razão (q = 4).
Assim, como já vimos pela fórmula do termo geral, então o quarto termo será este:

a₄ = a₁*q³ ---- substituindo-se a₁ por "3" e q por 4, teremos:
a₄ = 3*4³ ----- como 4³ = 64, teremos:
a₄ = 3*64 ---- como 3*64 = 192, teremos:
a₄ = 192 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o valor do 4º termo pedido da PG da sua questão.

Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, vamos ver qual é a PG com os seus 5 primeiros termos. Como já temos o primeiro termo (a₁ = 3) e já temos a razão (q = 4), então basta ir multiplicando, a partir do primeiro termo pela razão e teremos os demais termos. Veja:

a₁ = 3
a₂ = 3*4 = 12
a₃ = 12*4 = 48 <--- olha aí como o 3º termo é 48 mesmo.
a₄ = 48*4 = 192 <--- olha aí como a nossa resposta está correta.
a₅ = 192*4 = 768 <--- olha aí como o 5º termo é 768 mesmo.

É isso aí.l
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.