Question

Numa PG crescente, a soma dos três primeiros termos é 91 e a diferença entre o 3 e o 1 termo é 56. Escreva a PG

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Mariaeduarda, que a resolução é simples. 
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento. 

i) Tem-se que, numa PG crescente, a soma dos três primeiros termos é igual a "91" e a diferença entre o 3º e o 1º termo é igual a "56". Escreva essa PG.

ii) Veja: vamos denominar os três termos dessa PG da seguinte forma:

1º termo: a₁
2º termo: a₁*q
3º termo: a₁*q²

iii) Temos as seguintes informações: a soma dos três termos é igual a "91". Logo, teremos isto: 

a₁+ a₁*q + a₁*q² = 91 ---- vamos colocar "a₁" em evidência, ficando:
a₁*(1 + q + q²) = 91         . (I) 

A outra informação é que a diferença entre o 3º termo (a₁*q²) e o 'º termo (a₁) é igual a "56". Logo, teremos:

a₁*q² - a₁ = 56 ---- colocando novamente "a₁" em evidência, temos:
a₁*(q² - 1) =56 ----- isolando "a₁", teremos: 
a₁ = 56/(q²-1)        . (II) 

iv) Agora vamos na expressão (I) e, nela, substituiremos o valor de "a₁" pelo que vimos na expressão (II), que é: a₁ = 56/(q²-1). Vamos apenas repetir a expressão (I), que é esta: 

a₁*(1 + q + q²) = 91 ----- substituindo-se "a₁" por "56/(q²-1)", teremos: 
[56/(q²-1)]*(1+q+q²) = 91 ---- ou, o que é a mesma coisa:
56*(1+q+q²)/(q²-1) = 91 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
56*(1+q+q²) = 91*(q²-1) ---- efetuando os produtos indicados, teremos:
56*1 + 56*q + 56*q² = 91*q² - 91*1 ----- desenvolvendo, temos:
56 + 56q + 56q² = 91q² - 91 ----- passando o1º membro para o 2º,teremos:
0 = 91q² - 91 - 56 - 56q - 56q² ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
0 = 35q² - 56q - 147 ---- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo, temos: 
35q² - 56q - 147 = 0 ----- se você aplicar Bháskara, vai ver que encontrará as seguintes raízes:

q' = - 7/5
q'' = 3 

Mas como a PG é crescente, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a: 

q = 3 <--- Esta será a razão da PG da sua questão. 

Agora, para encontrar o valor do 1º termo, vamos na expressão (II), que é esta: 

a₁ = 56/(q²-1) ---- substituindo-se "q" por "3", teremos: 
a₁ = 56/(3²-1) 
a₁ = 56/(9-1) 
a₁ = 56/(8) ---- como 56/8 = 7, teremos: 
a₁ = 7 <--- Este é o valor do primeiro termo. 

v) Assim, como já temos que a₁ = 7 e que q = 3, então os três termos da PG serão estes (vide logo no início quando denominamos os três termos):

a₁ = 7 
a₂ = a₁*q ---> 7*3 = 21
a₃ = a₁*q² ---> 7*3² ---> 7*9 = 63. 

Assim, como você está vendo pelos valores que encontramos acima, a PG crescente da sua questão será esta:

(7; 21; 63)   <--- Esta é a resposta. Esta é a PG crescente da sua questão.

Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, vamos ver como isso é verdade mesmo.

- A soma dos três termos é 91. Então:

7 + 21 + 63 = 91
91 = 91 <---- Perfeito. Fechou. 

- A diferença entre o 3º termo (63) e o 1º termo (7) é igual a 56. Então: 

63 - 7 = 56 
56 = 56 <---- Perfeito. Fechou também. 

É isso aí. 
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.