Question

Numa pesquisa recente sobre contamina¸c˜ao foram extra´ıdas amostras da ´agua de um rio em cinco locais distintos do seu percurso. As quantidades encontradas de coliformes termotolerantes por 100 ml de ´agua foram: 9. 250 9. 750 9. 500 9. 350 9. 600. Com base nestas informa¸c˜oes, obtenha um intervalo de 95% de confian¸ca para a quantidade m´edia de coliformes termotolerantes (por 100 ml) neste rio.

Answer 1

Resposta:

Um intervalo com 95% de confiança é dado por uma média entre:

$9321,05<\mu<9658,95$

Explicação passo a passo:

Para resolver esta questão vamos aplicar os conceitos de média aritmética, desvio padrão, intervalo de confiança e distribuição t para amostras pequenas.

O intervalo de de confiança é dado por:

$-t<\dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}<t$

• $\bar{X}$ é a média da amostra;
• $\mu$ é a média real do intervalo;
• $\sigma$ é o desvio padrão;
• $n$ total de dados da amostra;
• $t$ valor da tabela de distribuição t de acordo com grau de liberdade.

Dessa forma:

Calculando a média:

$\bar{X}=\dfrac{9250+9750+9500+9350+9600}{5}\\\\\bar{X}=9490$

Calculando o desvio padrão:

$\sigma=\sqrt{\dfrac{(-240)^2+260^2+10^2+(-140)^2+110^2}{5}}\\\\\sigma=177,2$

Pela tabela de distribuição t para um intervalo de confiança de 95% e com grau 4 de liberdade temos |t| = 2,132.

Substituindo as informações no intervalo temos:

$-t<\dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}<t\\\\-2,132<\dfrac{9490-\mu}{\dfrac{177,2}{\sqrt{5}}}<2,132\\\\-2,132\cdot 79,2<9490-\mu<2,132\cdot 79,2\\\\-168,95<9490-\mu<168,95\\\\9321,05<\mu<9658,95$