Question

numa PA, sendo o 5° termo e igual a 25 e o 12° termo igual a 60. a razão sera´?

Answer 1

a12= a5-(12-5)r
60=25-7r
7r=35
r=5

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Estercristina, que a resolução é simples.
Como sempre costumamos fazer nas nossas respostas, vamos tentar resolver tudo passo a passo para um melhor entendimento.
Você se lembra que, na sua mensagem anterior, quando respondemos a uma questão sua sobre este mesmo assunto, dizíamos isto:

i) Antes de iniciar, veja que em progressões aritméticas (PA) a fórmula do termo geral, que é esta: an = a₁ + (n-1)*r , nos dá que:

a₁ = a₁ --- o que é óbvio
a₂ = a₁ + r
a₃ = a₁ + 2r
a₄ = a₁ + 3r
a₅ = a₁ + 4r
a₆ = a₁ + 5r
a₇ = a₁ + 6r
a₈ = a₁ + 7r
a₉ = a₁ + 8r
a₁₀ = a₁ + 9r
-------------------------------
-------------------------------
E assim sucessivamente. Em outras palavras, isto significa que o termo que se quer (an) será sempre igual ao primeiro termo (a₁) mais (n-1) vezes a razão (r).

ii) Bem, agora, tendo o que se viu aí em cima como parâmetro, então vamos responder ao que pede esta questão, que é saber qual é o valor da razão de uma PA, sabendo-se que: o 5º termo de uma PA é igual a 25 e o 12º termo dessa mesma PA  é igual a 60. Ou seja, temos isto (a₁ + 4r = a₅) e (a₁ + 11r = a₁₂). E como o 5º termo é igual a "25" e o 12º termo é igual a "60", então teremos isto:

a₁ + 4r = 25      . (I)
e
a₁ + 11r = 60     . (II)

iii) Agora vamos fazer o seguinte: multiplicaremos a expressão (I) por "-1" e, em seguida, somaremos, membro a membro, com a expressão (II). Então, fazendo isso, teremos:

-a₁ - 4r = - 25 --- [esta é a expressão (I) multiplicada por (-1)]
a₁ + 11r = 60 ---- [esta é a expressão (II) normal]
----------------------- somando membro a membro, teremos:
0 + 7r = 35 --- ou apenas:
7r = 35
r = 35/7
r = 5 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é valor pedido da razão da PA da sua questão.

iv) Bem, a resposta já está dada, pois a questão pede apenas o valor da razão (r). Mas, por mera curiosidade,vamos ver qual será o valor do primeiro termo (a₁) e depois vamos ver qual seria essa PA até o seu 12º termo.

iv.1) Para encontrar qual é o valor do 1º termo (a₁), basta irmos em uma das duas expressões [ou na (I) ou na (II)] e, em quaisquer uma delas substituiremos o valor de "r" por "5". Vamos na expressão (I), que é esta:

a₁ + 4r = 25 ---- substituindo-se "r" por "5", teremos:
a₁ + 4*5 = 25
a₁ + 20 = 25
a₁ = 25 - 20
a₁ = 5 <--- Este será o valor do primeiro termo (a₁).

iv.2) Agora vamos ver qual essa PA até o seu 12º termo. Para isso, basta irmos somando a razão (r = 5) a partir do primeiro termo (a₁ = 5). Assim, teremos:

a₁ = 5
a₂ = 5+5 = 10
a₃ = 10+5 = 15
a₄ = 15+5 = 20
a₅ = 20+5 = 25 <--- Olha aí como o 5º termo é, realmente, igual a 25.
a₆ = 25+5 = 30
a₇ = 30+5 = 35
a₈ = 35+5 = 40
a₉ = 40+5 = 45
a₁₀ = 45+5 = 50
a₁₁ = 50+5 = 55
a₁₂ = 55+5 = 60 <--- Olha aí como o 12º termo é, realmente, igual a 60.

É isso aí.
Deu pra entender bem todo o nosso passo a passo?

OK?
Adjemir.