Numa PA decrescente de 10 termos, a soma dos 3
primeiros é igual a 21 e o produto, 231. Qual é o valor do
último termo?
A) 37 C) 1 E) 47
B) 25 D) 25
Soluções para a tarefa
O valor do último termo é igual a -25.
O termo geral de uma progressão aritmética é definido por aₙ = a₁ + (n - 1).r.
Sendo assim, os 10 termos da progressão aritmética são iguais a (a₁, a₁ + r, a₁ + 2r, ..., a₁ + 9r).
De acordo com o enunciado, a soma dos três primeiros termos é igual a 21, ou seja:
a₁ + a₁ + r + a₁ + 2r = 21
3a₁ + 3r = 21
a₁ + r = 7.
Além disso, temos que o produto dos três primeiros termos é igual a 231, ou seja:
a₁.(a₁ + r).(a₁ + 2r) = 231
a₁.7.(a₁ + 2r) = 231
a₁² + 2a₁.r - 33 = 0.
Da equação a₁ + r = 7, podemos dizer que r = 7 - a₁. Assim:
a₁² + 2a₁(7 - a₁) - 33 = 0
a₁² + 14a₁ - 2a₁² - 33 = 0
-a₁² + 14a₁ - 33 = 0.
Resolvendo essa equação do segundo grau, obtemos dois valores para a₁: 3 e 11.
Se a₁ = 3, então r = 4;
Se a₁ = 11, então r = -4.
Como a progressão aritmética é decrescente, então a₁ = 11 e r = -4.
Portanto, o último termo é igual a:
a₁₀ = 11 + (10 - 1).(-4)
a₁₀ = 11 + 9.(-4)
a₁₀ = -25.