Question

Numa PA crescente de cinco termos, o quinto e o primeiro termos são, respectivamente, as raízes da equação x2 -12x -64=0. Determine a razão dessa PA.

Answer 1

Resposta:

r = 5.

Explicação passo-a-passo:

Primeiro de tudo, vamos encontrar as raízes dessa equação:

x² -12x -64 = 0.

S = 12

P = -64

Parando pra pensar: que números somados dão 12 e multiplicados dão 64?

É só pegar 2 fatores de 64 e somar pra ver se dá 12. Por exemplo:

8x(-8) = -64 ⇒ 8-8 = 0 ≠ 12

32x(-2) = -64 ⇒ 32-2 = 30 ≠ 12

16X(-4) = -64 ⇒ 16-4 = 12

Ou seja, as raízes são -4 e 16.

Agora: como saber qual é o primeiro termo e qual é o quinto?

É simples: o enunciado fala que a P.A é crescente. Ou seja: os primeiros termos são sempre menores que os seguintes.

Ou seja: -4 é o primeiro termo e 16 é o quinto, pois como a p.a. é crescente, precisamos que os menores números sejam os primeiros.

Agora temos o seguinte:

a₁ = -4 e a₅ = 16

Vamos utilizar o Termo Geral da P.A:

aₙ = a₁ + (n-1)r

Substituindo n = 5 para acharmos o quinto termo:

a₅ = a₁ + (5-1)r

a₅ = a₁ + 4r

Agora, podemos substituir a₁ e a₅ para finalmente encontrarmos a razão:

16 = -4 +4r

4r = 16 +4

4r = 20 ⇒ r = 5.