Question

Numa PA, ap = q e aq = p, com p diferente de q. Determine a1 e ap+q


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Answer 1

Por ser uma Progressão Aritmética vale as seguintes igualdades:

$a_p=a_1+r(p-1)$

$a_q=a_1+r(q-1)$

Pelo fato de que ap = q e aq = p, então:

$q=a_1+r(p-1)$

$p=a_1+r(q-1)$

Subtraindo uma expressão de outra:

$q-p=r[(p-1)-(q-1)]$

$q-p=r[p-1-q+1)]$

$q-p=r(p-q)$

$r = \dfrac{q-p}{p-q}$

$r = \dfrac{-(p-q)}{p-q}=-1\times\dfrac{p-q}{p-q} = -1$

Encontrando a razão da Progressão, substituímos em qualquer outra expressão:

$p=a_1+r(q-1)$

$p=a_1+(-1)\times(q-1)$

$p=a_1-q+1$

$a_1 = p+q-1$

a₁ = p + q - 1

Agora, termos que encontrar ap+q. A expressão que calcula o nésimo termo de uma PA é tal:

$a_n = a_1+r(n-1)$

No caso desta PA:

$a_n = p+q-1+(-1)\times(n-1)$

$a_n = p+q-1-n+1$

$a_n = p+q-n$

Queremos saber no p+q termo, portanto:

$a_{p+q} = p+q-(p+q)$

$a_{p+q}=0$