Question

Numa P.G. de cinco termos, a soma dos dois primeiros é 32 e a soma dos dois últimos é 256. Qual é o terceiro termo dessa P.G.?

Answer 1

Oi, boa tarde,

vamos representar os cinco termos da progressão geométrica da seguinte forma:

$P.G.=(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$

_________________

Somando os dois primeiros, teremos 32:

$a_1+a_2=32\\ a_1+(a_1*r)=32\\ a_1*(1+q)=32~~(I)$

Somando os dois últimos, teremos 256:

$a_4+a_5=256\\ (a_1*q^3)+(a_1*q^4)=256\\ a_1*(q^3+q^4)=256\\ a_1*q^3*(1+q)=256~~(II)$

Agora, podemos dividir a equação II, pela equação I:

$\dfrac{a_1*(1+q)}{a_1*q^3*(1+q)}= \dfrac{256}{32}~ \dfrac{(II)}{(I)}\\\\\\ q^3= \dfrac{256}{32}\\\\ q^3=8\\\\ q= \sqrt[3]{8}\\ q=2$

Como a razão q, vale 2, podemos achar o 1° (para isso, substitua q em uma das equações, vamos na equação I), e logo após, o 3°:

$a_1*(1+q)=32\\ a_1*(1+2)=32\\ a_1*3=32\\\\ a_1= \dfrac{32}{3}$

Sabendo-se que o primeiro termo vale 32/3 e a razão q, 2, podemos achar o 3°:

$a_3=a_1*q^2\\\\ a_3= \dfrac{32}{3}*2^2\\\\ a_3= \dfrac{32}{3}*4\\\\ \boxed{a_3= \dfrac{128}{3}}$

Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))