Question

numa p.g. a soma do 3° e do 5°termo é igual a 360 e a soma do 4° termo e do 6° termo é igaul a 1080. Determine a razão e o 1° termo dessa P.G.

Answer 1

Ola Melo25 boa tarde tudo bem? Vamos à resolução?

Em uma PG o seu termo geral é dado por: an = a1*q^(n-1), para facilitar nossa resolução iremos transformar a4, a5 e a6 em função de a3, para assim termos somente duas incógnitas: a3 e q. Portanto dentro de uma PG o termo posterior será igual ao anterior multiplicado pela razão, por causa dessa propriedade que a4 = a3*q, a5 = a4*q e a6 = a5*q, só que a4 = a3*q, 

a5 = a4*q --> a5 = a3*q*q --> a5 = a3*q² e a6 = a5*q --> a6 = a3*q²*q --> a6 = a3*q³. Agora montaremos um sistema de equações, onde a3 + a5 = 360 e a4 + a6 = 1080.

a3 + a5 = 360
a4 + a6 = 1080, este sistema é a mesma em dizer que:

a3 + a3q² = 360 I 
a3q + a3q³ = 1080 II, poderemos colocar o a3 em evidência na primeira equação e a3q na segunda, desta forma teremos:

a3(1 + q²) = 360 I
a3q(1 + q²) = 1080 II, agora poderemos dividir II por I e assim perceber que q = 3.

Tomando a equação I encontraremos o valor de a3: a3(1 + q²) = 360 --> a3(1+3²) = 360 --> a3(1 + 9) = 360 --> a3(10) = 360 --> a3 = 36, assim encontraremos o a1 pelo termo geral: a3 = a1*q² --> 36 = a1*3² --> 36 = 9a1 --> a1 = 4.

E finalmente a1 = 4 e q = 3.

Espero ter ajudado.