Question

numa P.G ,a soma do 2° e do 5° termo vale 42, a soma do do 4° e do 7° termo é 378.qual a sequencia dessa PG ?

Answer 1

Ae,

vamos expressar os termos desta P.G. de forma genérica:

$\begin{cases}a_2=a_1\cdot q\\ a_5=a_1\cdot q^4\\ a_4=a_1\cdot q^3\\ a_7=a_1\cdot q^6\end{cases}$

Agora, vamos montar um sistema de equações do 1° grau:

$\begin{cases}(a_1\cdot q)+(a_1\cdot q^4)=42~~(i)\\ (a_1\cdot q^3)+(a_1\cdot q^6)=378~~(ii)\end{cases}$

$\begin{cases}a_1\cdot q\cdot(1+q^3)=42~~(i)\\ a_1\cdot q^2\cdot(q+q^3)=378~~(ii)\end{cases}$

Agora, dividiremos a equação ii pela equação i:

$\dfrac{a_1\cdot q^2\cdot(q+q^3)}{a_1\cdot q\cdot(1+q^3)}= \dfrac{378~~(ii)}{42~~(i)}\\\\\\ \Rightarrow \dfrac{q^2q}{q}=9\\\\\\ \Rightarrow q^2=9\\\\ \Rightarrow q=\pm \sqrt{9} \\\\ q=\pm3~~(vamos~considerar~q~positiva)$

Achada a razão q, podemos substituí-la em uma das equações e acharmos o primeiro termo, vamos pela equação i:

$(a_1\cdot q)+(a_1\cdot q^4)=42\\ (a_1\cdot3)+(a_1\cdot3^4)=42\\ 3a_1+81a_1=42\\ 84a_1=42\\\\ a_1= \dfrac{42}{84}\\\\ a_1= \dfrac{1}{2}$

Pronto, multiplicando a razão (q), à partir do primeiro termo (a1), podemos escrever esta P.G.:

$\large\boxed{\text{P.G.}=\left( \dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}, \dfrac{9}{2}, \dfrac{27}{2}, \dfrac{81}{2}, \dfrac{243}{2}, \dfrac{729}{2}\right)}$

Tenha ótimos estudos ;P