Question

Numa P.A. tem-se: am =x, an = y. Calcular ap.
Obs. m,n,p indicam a posição do termo. Não sei escrever essas letras de forma pequena.
Resp. x + [(x-y)/(m-n)] (p-m)

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre progressões aritméticas.

Seja a seguinte sequência uma progressão aritmética de razão $r$: $\{a_m,~\cdots,~a_n,~\cdots,~a_p\}$.

Devemos calcular $a_p$ sabendo que $a_m=x$ e $a_n=y$.

Primeiro, lembre-se da fórmula do termo geral de uma progressão aritmética: Sejam $a_k$ e $a_j$, $k>j$ dois termos de uma progressão aritmética de razão $r$, pode-se demonstrar que $a_k=a_j+(k-j)\cdot r$.

Assim, considerando $p>n>m$, fazemos:

$a_n=a_m+(n-m)\cdot r$

Subtraia $a_m$ em ambos os lados da igualdade

$a_n-a_m=(n-m)\cdot r$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $n-m$

$r=\dfrac{a_n-a_m}{n-m}$

Então, calculamos $a_p$

$a_p=a_m+(p-m)\cdot r$

Substitua $r$ pela expressão que encontramos anteriormente

$a_p=a_m+(p-m)\cdot \dfrac{a_n-a_m}{n-m}$

Substitua $a_m=x$ e $a_n=y$

$a_p=x+(p-m)\cdot \dfrac{y-x}{n-m}$

Podemos multiplicar a fração por um fator $\dfrac{-1}{-1}$, de modo que tenhamos:

$a_p=x+(p-m)\cdot \dfrac{x-y}{m-n}~~\checkmark$