Question

numa p. a. sabe-se que A5+A9=86 e A11+A18=81. determine a soma dos 40 primeiros termos?

Answer 1

Primeiro vamos identificar nossos elementos: $a_{5}, a_{9} , a_{11}, a_{18}$

Utilizaremos a fórmula do termo geral de uma PA

$a_{n} = a_{1} + (n-1)r$

Então:

$a_{5} = a_{1} + (5-1)r = a_{1} + 4r \\ a_{9} = a_{1} + (9-1)r = a_{1} + 8r \\ a_{11} = a_{1} + (11-1)r = a_{1} + 10r \\ a_{18} = a_{1} + (18-1)r = a_{1} + 17r$

Agora vamos montar nosso sistema:

$\left \{ {{ a_{5} + a_{9} = 86 } \atop {a_{11} + a_{18} = 81}} \right.$

Substituindo pelo que a gente calculou pela formula do termo geral:

$\left \{ {{ (a_{1} + 4r)+ (a_{1} + 8r) = 86 } \atop {(a_{1} + 10r) + (a_{1} + 17r) = 81}} \right. \\ \\ \left \{ {{2a_{1}+12r=86} \atop {2a_{1}+27r=81}} \right.$

Vamos subtrair a segunda equação da primeira para que o 2a1 se cancele e assim podemos encontrar a razão r:

$(2a_{1}+12r=86) - (2a_{1}+27r=81) = \\ (2a_{1} - 2a_{1}) + (12r - 27r) = (86-81)= \\ -15r = 5 \\ 15r = -5 \\ r = - \frac{5}{15} = - \frac{1}{3}$

Agora que temos o valor ra razão, vamos calcular a1. Para isso podemos substituir o valor de r em qualquer uma das 2 equações:

$2a_{1}+12r=86 \\ 2a_{1} + 12.(- \frac{1}{3} ) = 86 \\ 2a_{1} - 4 = 86 \\ 2a_{1} = 86+4 \\ 2a_{1} = 90 \\ a_{1} = 90/2 \\ a_{1} = 45$

Agora, podemos encontrar a soma dos primeiros 40 termos. Para isso, devemos encontrar o 40° termo:

$a_{n} = a_{1} + (n-1)r \\ \\ a_{40} = 45 + (40-1) . (-1/3) \\ \\ a_{40} = 45 + 39 . (-1/3) \\ \\ a_{40} = 45 - 13 \\ \\ a_{40} = 32$

Agora, lembrando da fórmula para a soma dos n termos de uma PA:

$S_{n} = \frac{(a_{1}+a_{n})n}{2} \\ \\ S_{40} = \frac{(45+32)40}{2} \\ \\ S_{40} = \frac{77 . 40}{2} \\ \\ S_{40} = \frac{3080}{2} \\ \\ S_{40} = 1540$

Então, o valor é 1540.

Espero ter ajudado