Question

Numa P.A. infinita, sabe-se que o 6° termo é 25 e o 12° termo é 1. Determine a soma dos 13 primeiros termos dessa P.A.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a6=25

a12=1

a12=a6+6r

1=25+6r

-25+1=6r

-24=6r

r=-24/6

r=-4

a13=a6+7r

a13=25+7.-4

a13=25-28

a13=-3

a12=a1+11r

1=a1+11.-4

1=a1-44

a1=45

Sn=(a1+an).n/2

S13=(45-3).13/2

S13=42.13/2

S13=546/2

S13=273

Answer 2

Resposta:

$S_{13} = 273$

Explicação passo-a-passo:

$a_6 = 25 \Rightarrow \: a_6 = a_1 + 5r \Rightarrow \: a_1 + 5r = 25\\ a_{12} = 1 \Rightarrow \: a_{12} = a_1 + 11r \: \Rightarrow \: a_1 + 11r = 1$

Agora, resolveremos o sistema abaixo:

$\begin{cases}</p><p> a_1 + 5r =\ 25 \Rightarrow \: a_1 = 25 - 5r \,(i)\\</p><p> a_1 + 11r =\ 1 \Rightarrow \: a_1 = 1 - 11r \,(ii)</p><p>\end{cases} \\ (i) = (ii) \\ 25 - 5r = 1 - 11r \\ - 5r + 11r = 1 - 25 \\ 6r = - 24 \\ r = - \frac{24}{6} \\ r = - 4 \\ \\ a_1 = 25 - 5r \\ a_1 = 25 - 5.( - 4) \\ a_1 = 25 + 20 \\ a_1 = 45$

Sabendo os valores de a1 e da razão, podemos obter, agora, o 13° termo da sequência:

$a_{13} = a_1 + 12r \\ a_{13} = 45 + 12.( - 4) \\ a_{13} = 45 - 48 \\ a_{13} = - 3$

Conhecendo o valor do "último" termo, podemos calcular a soma dos 13 primeiros termos dessa P.A..

$S_n = \frac{(a_1 + a_n).n}{2} \\ S_{13} = \frac{(45 + ( - 3)).13}{2} \\ S_{13} = \frac{(45 - 3).13}{2} \\ S_{13} = \frac{42.13}{2} \\ S_{13} = 21.13 \\ S_{13} = 273$