Question

Numa P.A em que o quinto termo + o dobro do terceiro termo = 12 e o segundo termo - o triplo do sexto termo = -34 . calcule a soma dos 20 primeiros termos

Answer 1

PROGRESSÃO ARITMÉTICA

É um pouco trabalhoso, mas vamo lá:

O problema diz que o 5° termo somado ao dobro do 3° termo é 12

$a _{5}+2a _{3}=12$

e que a diferença do triplo do 6° termo pelo 2° é -34

$a _{2}-3a _{6}=-34$

com estes dados vamos escrever como os termos realmente são, assim:

$a_{1}+4r+2(a _{1} +2r)=12$

$a _{1}+r-3(a _{1}+5r)=-34$

reduzindo os termos, vem:

$a _{1}+4r+2a _{1}+4r=12$

$a _{1}+r-3a _{1}-15r=-34$

reduzindo todos os termos, temos:

|$3a _{1}+8r=12$   (I)         temos um sistema de equações do 1° grau
|                                               nas incógnitas $a _{1}$ e $r$
|$-2a _{1}-14r=-34$ (II)

Agora vamos isolar $a _{1}$ em função de $r$ na equação I

$a _{1}= \frac{12-8r}{3}$, e substituir na equação II:

$-2( \frac{12-8r}{3})-14r=-34$

$-2( \frac{12-8r}{3})=-34+14r$

$-2(12-8r)=3(-34+14r)$

$-24+16r=-102+42r$

$-24+102=42r-16r$

$78=26r$

$r=78/26$

$r=3$

Substituindo o valor de r, na equação I, temos:

$3 a_{1}+8r=12$

$3a _{1}+24=12$

$3a _{1}=12-24$

$3a _{1}=-12$

$a _{1}=-12/3$

$a _{1}=-4$

Sabemos que trata-se de uma P.A. de 20 termos, que a razão r é 3 e que o 1° termo é -4, então vamos calcular o 20° termo pela fórmula do termo geral da P.A., veja:

$A _{n}=a _{1}+(n-1)r$

$A _{20}=-4+(20-1)*3$

$A _{20}=-4+19*3$

$A _{20}=-4+57$

$A _{20}=53$

Agora vamos inserir os dados já obtidos para o cálculo da soma dos 20 primeiros termos:

$S _{n}= \frac{(a _{1}+A _{n})n }{2}$

$S _{20}= \frac{[ (-4)+53]*20 }{2}$

$S _{20}= \frac{49*20}{2}$

$S _{20}= \frac{980}{2}$

$S _{20}=490$


Resposta: A soma dos 20 primeiros termos é 490.