Question

Numa P.A. de quatro termos, a soma dos extremos é 24 e o produto dos outros dois é -81. Qual é a razão dessa P.A.?

Answer 1

Tirei foto para poder entender melhor o calculo, pois é grande.

Perceba a substituição que eu fiz na equação, como eu achei a1 eu substitui o a1  na equação que achei na multiplicação dos termos a2 e a3.

Answer 2

Olá Thayna,

se são 4 termos, podemos escrever a P.A.:

$~~~~~~~~~extremos\\ P.A.(\overbrace{a_1,\underbrace{a_2,a_3},a_4})\\ ~~~~~~~~~~~~meios\\ ~~~~~~~~(outros~dois)$

Montando um sistema de equações do 2º grau, podemos ter:

$\begin{cases}a_1+a_4=24\\ a_2\cdot a_3=-81\end{cases}$

Escrevendo os termos da P.A. acima de modo genérico, obteremos:

$\begin{cases}a_1+(a_1+3r)=24~~(I)\\ (a_1+r)\cdot (a_1+2r)=-81~~(II)\end{cases}~~\to~~\begin{cases}2a_1+3r=24\\ (a_1+r)\cdot (a_1+2r)=-81\end{cases}$

Isolando a1 na equação I, podemos substituí-lo na equação II:

$2a_1+3r=24\\ 2a_1=24-3r\\\\ a_1= \dfrac{24-3r}{2}$

$(a_1+r)\cdot (a_1+2r)=-81\\\\ \left( \dfrac{24-3r}{2}+r\right)\cdot \left( \dfrac{24-3r}{2}+2r\right)=-81\\\\ \left( \dfrac{24-3r+2r}{2}\right)\cdot \left( \dfrac{24-3r+4r}{2}\right)=-81\\\\ \left( \dfrac{24-r}{2}\right)\cdot\left( \dfrac{24+r}{2}\right)=-81\\\\ \dfrac{576-r^2}{4}=-81\\\\ 576-r^2=4\cdot(-81)\\ 576-r^2=-324\\ -r^2=-324-576\\ -r^2=-900~~~~~~\cdot~~~~~~(-1)\\\\ r^2=900\\ r=\pm\sqrt{900}\\ r=\pm30$

Achada a razão, podemos substituí-la em uma das equações e encontrarmos o primeiro termo (a1), vamos pela equação I:

$a_1= \dfrac{24-3r}{2}\\\\ a_1= \dfrac{24-3*30}{2}\\\\ a_1= \dfrac{24-90}{2}\\\\ a_1=12-45\\\\ a_1=-33$

Agora é só escrever a P.A. de 4 termos:

$\boxed{P.A.(-33,-3,27,57)}$

observação: Só foi feita a P.A. com razão 30, se fizer com razão -30 dará o mesmo resultado.

Tenha ótimos estudos =))