Question

Numa P.A de nove termos, a soma dos dois primeiros termos é igual a 20 e a soma do sétimo e oitavo termos é 140. A soma de todos os termos desta PA é ?

Answer 1

Dados que temos:

n = 9
a1 + a2 = 20
a7 + a8 = 140

Fórmula da soma de P.A:

S9 = (a1 + a9).n/2

Temos que descobrir qual é o a1, e qual é o a9.

Vamos escrever os termos em função de a1:

a2 = a1 + 1r
a7 = a1 + 6r
a8 = a1 + 7r

Agora vamos substituir:

a1 + a2 = 20
a1 + a1 + 1r = 20
2a1 + r = 20 (I)

a7 + a8 = 140
a1 + 6r + a1 + 7r = 140
2a1 + 13r = 140 (II)

Vamos montar um sistema com as equações I e II :

2a1 + r = 20
2a1 + 13r = 140

Multiplicando a primeira por -1

-2a1 - r = -20
2a1 + 13r = 140

12r = 120
r = 10

Descobrimos a razão, agora vamos descobrir o a1:

2a1 + r = 20
2a1 + 10 = 20
2a1 = 20 - 10
2a1 = 10
a1 = 10/2 = 5

Sabendo o a1, vamos descobrir o a9:

a9 = a1 + 8r
a9 = 5 + 8.10
a9 = 85

Então, descobrimos que a razão vale 10, o primeiro termo é 5, e o ultimo termo é 85, vamos jogar na fórmula da soma:

S9 = (a1 + a9).n/2
S9 = (5 + 85).9/2
S9 = 90.9/2
S9 = 405

A soma de todos os termos da PA vale 405.