Question

Numa P.A., a3+ a6 = 41 e a4 + a9 = 61. Escreva essa P.A.​

Answer 1

Escreverei todos os termos em função do terceiro termo e da razão, assim teremos duas incógnitas e duas equações (sistema possível e determinado):

$a_4 = a_3 + r$

$a_6 = a_3 + 3 \cdot r$

$a_9 = a_3 + 6 \cdot r$

Substituindo nas equações:

$a_3 + a_6 = 41$

$a_3 + a_3 + 3 \cdot r = 41$

$2 \cdot a_3 + 3 \cdot r = 41$

Na segunda equação:

$a_4 + a_9 = 61$

$a_3 + r + a_3 + 6 \cdot r$

$2 \cdot a_3 + 7 \cdot r = 61$

Assim, as duas equações possuem o termo $2 \cdot a_3$. Vou isolá-lo. Na primeira equação:

$2 \cdot a_3 = 41 - 3 \cdot r$

Na segunda equação:

$2 \cdot a_3 = 61 - 7 \cdot r$

Desta forma é possível igualar as duas equações dado que:

$2 \cdot a_3 =2 \cdot a_3$

$41 - 3 \cdot r = 61 - 7 \cdot r$

Resolvendo para encontrar a razão da P.A, r:

$7 \cdot r - 3 \cdot r = 61 - 41$

$4 \cdot r = 20$

$r = \dfrac{20}{4}$

$r = 5$

Com r é possível encontrar o terceiro termo:

$2 \cdot a_3 = 61 - 7 \cdot r$

$2 \cdot a_3 = 61 - 7 \cdot 5$

$2 \cdot a_3 = 61 - 35$

$2 \cdot a_3 = 26$

$a_3 = \dfrac{26}{2}$

$a_3 = 13$

Sabendo este termo e a razão podem se encontrar todos os termos. O primeiro:

$a_1 = a_3 - 2 \cdot r$

$a_1 = 13 - 2 \cdot 5$

$a_1 = 13 - 10$

$a_1 = 3$

Assim o termo geral da P.A. é:

$a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$

$\boxed{a_n = 3 + (n-1) \cdot 5}$

P.A. = 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, ...