Question

Numa fábrica foram instaladas 1000 lâmpadas novas. Sabe-se que a duração média das lâmpadas é de 800 horas e o desvio padrão de 100 horas, com distribuição normal. Determine a quantidade esperada de lâmpadas que deverão
durar:
a) menos que 500 horas;
b) mais de 700 horas;
c) entre 516 e 814 horas.

Answer 1

Olá Sofía, para resolver esse problema da distribuição padrão, vamos usar um gráfico, e vou usar probability distributions.

Primeiro vamos começar com algo muito simples e é disso que se trata a probabilidade normal?

Em estatística e probabilidade é chamada de distribuição normal, distribuição gaussiana ou distribuição de Laplace-Gauss, uma das distribuições de probabilidade variável contínua que aparece com mais frequência na estatística e na teoria das probabilidades.

A fórmula para calcular a probabilidade na distribuição normal é:

$\sf ~~~~~~ Z = \dfrac{X_i -\mu}{\delta}~~~~~~$

Onde:

• Z: é o número que iremos usar na tabela.
• Xi: valor esperado
• μ: Média
• δ: Desvio Padrão

Problema:

Numa fábrica foram instaladas 1000 lâmpadas novas. Sabe-se que a duração média das lâmpadas é de 800 horas e o desvio padrão de 100 horas, com distribuição normal. Determine a quantidade esperada de lâmpadas que deverão

durar:

a) menos que 500 horas;

b) mais de 700 horas;

c) entre 516 e 814 horas.

Primeiro calculamos a probabilidade de uma lâmpada durar menos de 570 horas, o desvio e a média já são conhecidos e o valor do valor esperado é igual a 570 horas. Substituímos:

$\sf ~~~~~~ Z = \dfrac{570-800}{100}~~~~~~$

Calculamos o valor de "Z":

$\sf ~~~~~~ Z = \dfrac{-230}{100}~~~~~~$

$\sf ~~~~~~ Z = -2.3~~~~~~$

Procuramos esse valor de "Z" na tabela anexada na minha resposta:

$\sf ~~~~~~ Z = -2.3=2.3 =0.48928~~~~~~$

Agora tendo o valor de "Z" podemos dizer que a probabilidade é igual a 0,489289 ou 48,9289%. Mas isso não é exato se a probabilidade deve ser menor que 570 e não igual a 570 sabendo que metade da tabela é igual a 50% podemos dizer que a probabilidade é igual a:

• 50% - 48,9289% = 1.0711% que isso é igual a 11 unidades

[Imagem anexada ao gráfico]

A próxima subseção nos pede para calcular a probabilidade de durabilidade de uma lâmpada maior que 720 horas. Substituímos:

$\sf ~~~~~~ Z = \dfrac{700-800}{100}~~~~~~$

$\sf ~~~~~~ Z = \dfrac{-100}{100}~~~~~~$

$\sf ~~~~~~ Z = -1~~~~~~$

Procuramos esse valor em nossa tabela de distribuição padrão.

$\sf ~~~~~~ Z = -1=1= 0.34134~~~~~~$

Isso pode ser igual a 34,134% de probabilidade de que mesmo algumas dessas lâmpadas durem 720 horas, mas se quisermos descobrir que duram mais, adicionamos 50% mais a porcentagem de probabilidade obtida.

• 50% + 34.134% = 84.134 que isso é igual a 841 unidades.

[Segundo gráfico em anexo]

Calculamos a probabilidade de que algumas dessas lâmpadas durem entre 516 e 814 horas para isso subtrair as duas porcentagens de probabilidade. Solução:

$\sf ~~~~~~ Z = \dfrac{516-800}{100}~~~~~~$

$\sf ~~~~~~ Z = \dfrac{-284}{100}~~~~~~$

$\sf ~~~~~~ Z = -2.84= 2.84~~~~~~$

Esse valor na tabela é igual a 0,49774 ou 49,774%. E para 814:

$\sf ~~~~~~ Z = \dfrac{814-800}{100}~~~~~~$

$\sf ~~~~~~ Z = \dfrac{14}{100}~~~~~~$

$\sf ~~~~~~ Z = 0.14~~~~~~$

Na tabela isso tem um valor igual a 0,05567 ou apenas 5,567%. Adicionamos os dois resultados:

$\sf ~~~~~~ Z = 49.774-5.567~~~~~~$

$\sf ~~~~~~ Z = 44.207\%~~~~~~$

Então o que resta mais daqueles que são superiores a 700 horas mas menos de 814

das unidades são as lâmpadas que duram entre 516 e 814 horas no total são 442 unidades.

[Terceira imagem anexada]

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• https://brainly.com.br/tarefa/21314367

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$\textit{\textbf{Nitoryu}}$