Question

numa doceria um determinado tipo de bolo é á 18 reais. Nessas condições, o proprietário verifica que sua venda mensal é de 76 bolos. Na tentativa de aumentar sua receita, diminui o preço para 15 reais e passa a vender mensalmente 82 bolos.

A) Obtenha a função demanda para esta doceria, supondo-a de primeiro grau.
B) Ache a receita em função da quantidade.
C) Ache o lucro em função da quantidade sabendo que a função custo dessa doceria é dada por: C(x)=15x+360.
D) Qual o preço que maximiza o lucro?
E) Qual o lucro máximo?

Answer 1

Boa tarde.

a)

Supondo que a demanda para a doceria seja linear, temos que:

O preço diminui R$ 3 e a demanda aumentou em 6 bolos.

Isto significa que a variação de R$ 1 no preço causa a variação de 2 bolos na demanda.

Desta maneira, se o bolo fosse de graça, teríamos que a demanda seria igual a 82 mais 30 bolos, pois diminuir R$ 15 no preço acarretaria um aumento na demanda de 30 bolos.

Logo a função demanda é dada por:

$D(p) = 112 - 2p$

sendo p o preço do bolo.

b)

A receita é dada pelo produto entre a demanda e o preço.

Logo 

$R(p) = p . (112 - 2p) = 112p - 2p^2$

c)

A função Lucro, L(p), é dada por:

$L(p) = R(p) - C(p) \Rightarrow L(p) = -2p^2 +97p-360.$

d)

Portanto o preço que maximiza o Lucro é encontrado no vértice, dado por

$x_v = \displaystyle\frac{-b}{2a} = \displaystyle\frac{-97}{-2.2}=\displaystyle\frac{97}{4}=24,25.$

 e)

Para obter o Lucro máximo podemos substituir o valor de xv na função ou usar a fórmula do vértice. Farei da 1ª forma:

$L(97/4) = -2.( \frac{97}{4} )^2+97. \frac{97}{4}-360=-97^2/8+97^2/4-360=$

$97^2/8-360=\displaystyle\frac{9409-2880}{8}=6529/8= R\ 816,13.$

Espero ter ajudado.