Question

Numa determinada agência bancária estão disponíveis 12 caixas eletrônicos. De quantas maneiras é possível escolher 3 desses caixas para se efetuar um serviço de manutenção?.

Answer 1

Resposta:

220 maneiras

Explicação passo a passo:

Trata-se de uma combinação, pois escolheremos 3 caixas onde não importa a ordem e não a repetição de elementos.

A fórmula da combinação é $C^{n}_{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ e se lê "combinação de n elementos tomados de k em k".

Para a questão proposta, fica $C^{12}_{3}=\frac{12!}{3!(12-3)!}$ e se lê "combinação de 12 elementos tomados de 3 em 3".

Assim:

$C^{12}_{3}=\frac{12!}{3!(12-3)!}=\frac{12!}{3!*9!}=\frac{12*11*10*9!}{3!*9!}=\frac{12*11*10}{3!}=\frac{1320}{3*2*1}=\frac{1320}{6} =220$.

Contudo, há como resolver o exercício sem utilizar a fórmula da combinação.

Temos 12 caixas e precisamos escolher sempre de 3 em 3. Logo, para minha primeira opção tenho 12 caixas disponíveis; para a segunda opção, como já escolhi algum na primeira, me resta 11 caixas; e para a terceira opção, como já selecionei 2 para as duas primeiras opções, me restam 10 opções de escolha. Assim, tenho que: (Note que multiplicamos pois precisamos da seleção do primeiro caixa E da seleção do segundo caixa E da seleção do terceiro caixa).

$\frac{12}{primeirocaixa}*\frac{11}{segundocaixa}*\frac{10}{terceirocaixa}=1320$.

Por ser sempre grupos de 3 caixas, divido o valor total da multiplicação anterior por três para garantir que sempre haverá agrupamentos de 3 caixas.

Logo:

$\frac{1320}{3}=220$

Answer 2

$\sf C(3,12)=\dfrac{12!}{3!(12-3)!}$

$\sf C(3,12)=\dfrac{12!}{3!9!}$

$\boxed{\boxed{\sf C(3,12)=220}}$