Question

Numa circunferência , as cordas AB e CD se cortam no ponto P, tal que PA=10 cm, PB=20cm e PC= 2PD. Calcule o comprimento da corda CD​

Answer 1

Para dado ponto O, chamado centro, a circunferência de raio r é o conjunto de pontos cuja distância até o ponto O é igual a r. Um de seus elementos é a corda, definida como segmento de reta que liga dois pontos pertencentes a uma circunferência. Assim, um diâmetro fica definido como a maior corda que uma circunferência possui, ou como a corda que passa pelo centro dela.

construímos duas cordas, o segmento AB e o segmento CD, que se encontram no ponto P.Nessas circunstâncias, os segmentos formados pelas cordas são proporcionais conforme a igualdade:

AP = CP

DP    BP

Usando a propriedade fundamental das proporções, temos:

AP·BP = CP·DP

Essas igualdades podem ser usadas para encontrar a medida de um dos quatro segmentos de reta definidos pelas cordas

Solução: Basta usar uma das igualdades dadas acima para descobrir o valor de x.

AP·BP = CP·DP

8·3 = x·4

24 = x

4      

x = 6

Demonstração da proporcionalidade das cordas

Dada a circunferência c, cortada pelas cordas AB e CD que se cruzam no ponto P, temos a formação de alguns ângulos,

Observe que construímos também os segmentos AC e BD para formar dois triângulos dentro da circunferência: ACP e BDP. Os ângulos formados no ponto P em destaque na figura são opostos pelo vértice, por isso, suas medidas são iguais.

Os ângulos α e β também são congruentes. Isso acontece porque eles são ângulos inscritos da circunferência e relacionam-se ao mesmo arco.

Como os dois triângulos possuem dois ângulos congruentes, então, essas figuras são semelhantes pelo caso de semelhança ângulo-ângulo. É por esse motivo que os lados desses triângulos são proporcionais.