Question

Numa câmara Municipal , ha 9 vereadores . Sabendo que 2 desses vereadores tem desavenças que impem de participar de uma mesma comissão , calcule de quantos modos pode ser constituída uma comissão de 5 vereadores

Answer 1

Como é um problema de combinação, usaremos a fórmula de combinação de n elementos tomados p a p que é:

C(n, p) = n! / (p! * (n-p)!)

Temos 9 vereadores mas como existem dois que não se dão, deixaremos 1 de fora e calcularemos quantas combinações podemos fazer com os outros 8.
Teremos então:

C(8, 5) = 8! / (5! * 3!) = (8*7*6)/(3*2) = 56

Descobrimos, então, que existem 56 combinações possíveis com os 8 vereadores.

Vamos agora calcular utilizando o outro vereador que havia ficado de fora, retirando seu desafeto.
Novamente teremos:

C(8, 5) = 56

Acontece que dessa vez, além de contabilizar as combinações que incluem o novo vereador, contamos novamente as combinações que não incluíam nenhum dos dois vereadores, que já havíamos contado na primeira vez.
Devemos, então, subtrair essa interseção.

A interseção é uma combinação de 7 tomados 5 a 5:

C(7, 5) = 7! / (5! * 2!) = 21

O total de combinações distintas será dado por:

56 + 56 - 21 = 91

Podemos formar 91 grupos distintos de 5 vereadores com os 9 existentes sem que os desafetos estejam juntos no grupo.