Question

Num tubo de ensaio há um número x de microrganismos que dobra a quantidade a cada hora. Após quantas horas, aproximadamente, a quantidade inicial terá aumentado 1.000 vezes?
Alguém me explica a resolução por favor

Answer 1

O que temos aí é uma progressão geométrica.

A cada hora a quantidade de bactérias dobra, ou seja, a razão dessa PG. O termo inicial é x

Quer saber quando a soma dos termos da PG vai dar 1000

Segundo a fórmula da soma dos termos de uma PG
temos

a1.(q^n -1) / q-1
$S_{n} = {a_{1}. \frac {( q^{n} -1) }{q-1}$

O que queremos é saber qual é o n que dá o valor 

1000x = x.(2^n - 1) / (2-1) 

1000x = x.(2^n - 1) / 1
1000 = 2^n -1 / 1
1000  = 2^n -1 
999 = 2^n

Se aplicarmos ln()

ln(999) = ln(2^n) 

ln(999)/ ln(2) = n

2,995/ 0,3010 = n

n = 9,96 ... arredondamos para 10 


Vamos testar
$S_{10} = {x * \frac {( 2^{10} -1) }{2-1}$
$S_{10} = {x \frac {( 1023) }{1}$
$S_{10} = {x * 1023$

Observe, S₉ = 511x, S₁₀ = 1023x

Então é 10 passos