Question

Num triangulo equilatero de lado L,constroi-se outro trianculo equilatero nos pontos medios de seus lados.esse processo e feito indefinidamente,gerando infinitos outros triangulos equilateros.calcule o limite da soma dos perimetros desses triangulos.

Answer 1

a1=3L

a2=3*L/2

a3=3L/4

q=a2/a1=(3L/2)/(3L)=1/2

-1<q<1  ==>Sn=a1/(1-q)

Sn= 3L/(1-1/2)=3L/(1/2) =6L

Observe a figura:   ai =Δi

Δ₁  tem perímetro 3L

Δ₂  tem perímetro 3L/2

Δ₃  tem perímetro 3L/4

Δ₄  tem perímetro 3L/8

Δ₅  tem perímetro 3L/16

Δ₆  tem perímetro 3L/32

Δ₇  tem perímetro 3L/64

Δ₈  tem perímetro 3L/128

Δ₉  tem perímetro 3L/256

Δ₁₀  tem perímetro 3L/512

Δ₁₁ tem perímetro 3L/1024 , já é um número muito , pequeno

ω=Soma dos perímetros Δ₁₂₁  até Δn,   n muito grande ≈ 0

Somando os perímetros destes triângulos encontramos:

3L*(1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128+1/256+1/512+1/1024+ω)

ω é um número muito pequeno, vamos desprezar ..

=3L*1,9990234375

Podemos perceber, com um exemplo prático , que a soma é bem próximo de 6L..

Answer 2

- Perceba que o ponto médio é na verdade a metade desse lado L do triângulo inicial. ok?  o perimetro do triângulo maior é:

Perimetro = L + L + L
perimetro = 3L

- O segundo triângulo terá metade do perimetro do anterior, pois estará no ponto médio. ok?

Perimetro 2 = L/2 + L/2 + L/2
Perimetro 2 = 3L/2

E assim sucessivamente, até sabe lá quanto. Perceba que isso formará uma progressão geometrica de infinitos termos, e tudo que queremos é a soma desses infinitos triângulos.

PG = ( 3L, 3L/2, ...)

Somando.

Sn = a1 / ( 1 - q)

- calculamos a razão.

q = a2/a1
q = ( 3L/2) / 3L
q = 1/2

- Somando

Sn = a1 / ( 1 - q)
Sn = 3L / (1 - 0,5)
Sn = 3L/ 0,5
Sn = 6L

- O limite da soma desses perímetros é 6L, como ele não deu valor do lado, fica em função dele.