Question

Num triângulo ABC temos: a = 1+√3, b = 2 e o Ĉ = 30°. Calcule o perímetro desse triângulo.

Obs: Com explicação.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Fabio, que a resolução é mais ou menos simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se o perímetro do triângulo ABC, sabendo-se das seguintes informações: lado "a" = 1+√(3); lado "b" = 2; e ângulo "C" = 30º.

ii) Agora note isto e não esqueça mais: ao construirmos o triângulo com os vértices ABC, o lado "a" (que vale 1+√3) será o lado oposto ao vértice "A"; o lado "b" (que vale 2) é o lado oposto ao vértice "B"; e o lado "c" (que é o que vamos encontrar) será o lado oposto ao vértice "C". Assim, aplicando a lei dos cossenos, teremos:

c² = a² + b² - 2ac.cos(C)

Substituindo-se "a" por (1+√3); substituindo-se "b" por "2"; e substituindo-se cos(C) por cos(30º), teremos:

c² = (1+√3)² + 2² - 2*(1+√3)*2*cos(30º) ---- como na multiplicação a ordem dos fatores não altera o produto, teremos:

c² = (1+√3)² + 2² - 2*2*(1+√3)*cos(30º) ------ note que cos(30º) = √(3)/2. Logo:

c² = (1+√3)² + 2² - 4*(1+√3)*√(3)/2 ---- simplificando-se logo o "2" do denominador com o "-4" do numerador, iremos ficar apenas com:

c² = (1+√3)² + 2² - 2*(1+√3)*√(3) ------ desenvolvendo os quadrados e os produtos indicados, teremos:

c² = 1²+2*1*√(3)+√(3)² + 4 - [2*1+2√3)*√(3)] ---- continuando:

c² = 1+2√(3)+3 + 4 - [2+2√3]*√(3)] ---- multiplicando-se o último fator por "√3", iremos ficar assim:

c² = 1+2√(3) + 7 - [2√3 + 2√(3)*√(3)] ----- desenvolvendo, temos:

c² = 2√(3) + 8 - [2√(3) + 2*√(3*3)] ---- continuando:

c² = 2√(3) + 8 - [2√(3) + 2*√(9)] ----- como √(9) = 3, teremos:

c² = 2√(3) + 8 - [2√(3) + 2*3] --- continuando, temos:

c² = 2√(3) + 8 - [2√(3) + 6] --- retirando-se os colchetes, ficamos:

c² = 2√(3) + 8 - 2√(3) - 6 ----- reduzindo os termos semelhantes, temos:

c² = 2 ------ isolando "c", teremos;

c = ± √(2) ---- mas como o lado de um triângulo não tem medida negativa, então ficaremos apenas com a medida positiva e igual a:

c = √(2) <--- Esta é a medida do lado "c" do triângulo da sua questão.

iii) Como já temos as medidas de todos os lados do triângulo, então vamos encontrar o seu perímetro (P). Assim, teremos que:

P = a + b + c ----- substituindo-se cada lado pela sua medida, teremos;

P = 1+√(3) + 2 + √(2) ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:

P = 3 + √(3) + √(2) <---- Esta é a resposta. Ou seja, este é o perímetro do triângulo da sua questão.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

Ok?

Adjemir.