Question

Num triângulo ABC, sendo A = (4,3), B = (0,-3) e C um ponto pertencente ao eixo OX com AC=BC. O ponto C tem como coordenadas:a) (2,0)
b) (-2,0)
c) (0,2)
d) (0,-2)
e) (2,-2)

RESOLUÇÃO POR FAVOR!

Answer 1

Temos um triângulo ABC de pontos A(4,3), B(0,3) e C pertencente ao eixo Ox, sabemos também que a distância de A para C é igual a distância de B para C (dAC=dBC), a questão quer saber qual é a coordenada do ponto C. Vamos iniciar o cálculo relembrando o que quer dizer Ox, essa "sigla" não é nada mais nada menos que o eixo "x", ou seja, os pontos que fazem parte desse eixo Ox possuem valor de "x", mas não possuem valor de "y", portanto podemos dizer que C é C(x,0). Tendo feito essa interpretação vamos começar calculando a distância AC e BC através da seguinte relação da distância entre pontos:

$d_{a,c}=\sqrt{(x_c-x_a)^{2}+(y_c-y_a)^{2}}$

• Distância de A para C (dAC):

$\begin{cases}A(4,3)\to x_a=4 \: \: e \: \: y_a=3 \\C(x,0) \to x_c = x \: \: e \: \: y_c= 0\end{cases}$

Substituindo os dados na relação da distância:

$d_{a,c}=\sqrt{(x-4)^{2}+(0 - 3)^{2}} \\ d_{a,c} = \sqrt{x {}^{2} - 8x + 16 + 9 \: \: \: \: } \\ d_{a,c} = \sqrt{x {}^{2} - 8x + 25 } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

• Distância de B para C (dBC):

$\begin{cases}B(0,-3) \to x_b = 0 \: \: e \: \: y_b = - 3 \\C(x,0) \to x_c = x \: \: e \: \: y_c= 0\end{cases}$

Substituindo os dados na relação da distância:

$d_{b,c}=\sqrt{(x_c-x_b)^{2}+(y_c-y_b)^{2}} \\ d_{b,c}=\sqrt{(x-0)^{2}+(0-( - 3))^{2}} \\ d_{b,c} = \sqrt{x {}^{2} + 9} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$Agora é só lembrar do que eu disse no começo, as distâncias são iguais, ou seja, podemos igualar essas duas expressões que obtemos:

$\sqrt{ {x}^{2} - 8x + 25 } = \sqrt{x {}^{2} + 9 }$

Para remover essas raízes basta elevar ambos os membros da equação, pois se fizermos uma alteração em uma equação, a mesma deve ser feita nos dois lados para que não se altere nada:

$( \sqrt{x {}^{2} - 8x + 25 } ) {}^{2} = ( \sqrt{x {}^{2} + 9} ) {}^{2} \\ x {}^{2} - 8x + 25 = x {}^{2} + 9 \\ x {}^{2} - x {}^{2} - 8x = 9 - 25 \\ - 8x = - 16 \\ x = \frac{ - 16}{ - 8} \\ x = 2$

Portanto podemos concluir que a coordenada é:

$\boxed{ \boxed{ \boxed{C(x,0) \to C(2,0)}}}$

Espero ter ajudado