Question

Num triângulo ABC, sabe-se que o vértice A coincide com o ortocentro do triângulo. Então, se BC=6cm, a distância do circuncentro ao baricentro desse triângulo é, em cm:
a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3


Resposta diz letra a) , mas ja encontrei erros de gabarito antes nessa fonte. Veja ai o que encontra, obg!

Answer 1

Parceiro,

Se o ortocentro é coincidente à um vértice de um triângulo, este mesmo é retângulo NAQUELE VÉRTICE.

Por consequência de ser um triângulo retângulo, o circuncentro (encontro das mediatrizes) coincide no ponto médio da hipotenusa.

No desenho, observe que a distância entre o baricentro e o circuncentro se torna a mesma medida do baricentro ao ponto médio da hipotenusa.

Trabalhando na figura:

I) Relação métrica no triângulo retângulo:
$AD^2=BD.CD \\ AD^2=3^2 \\ AD=3$

II) Pela razão do baricentro(2k/k), concluímos:

$GD=k$, só que
$3k=AD\\ 3k=3\\ k=1$

Logo:

$GD=k=1$

Espero ter ajudado,

See Ya!

Answer 2

Se o vértice A coincide com o ortocentro podemos concluir que se trata de Δ retângulo com A sendo o vértice do ângulo reto.
Hipotenusa BC = 6 
Seja AD a mediana traçada de A até BC
Então D é o circuncentro do ΔABC pois a hipotenusa BC é o diâmetro do círculo circunscrito (ângulo A valendo 90°está inscrito num setor de 180°).
Neste contexto AD é o raio do círculo e medirá 6/2 = 3cm
Em AD obteremos o ponto E que será o encontro das outras duas medianas traçadas de B e C.
Considerando que o baricentro está 2/3 distante do vértice ou 1/3 distante do lado referido à mediana concluímos que  a distância ED será 1/3 do raio ou seja 1 cm
Resposta: alternativa a)