Question

Num triângulo ABC, retângulo em A, um cateto é igual a 15m e a altura relativa à hipotenusa 12m. O valor da medida do perímetro e da área, nestá ordem, de ABC é:
a)60m e 120m²
b)50m e 140m²
c)60m e 150m²
d)70m e 130m²
e)60m e 180m²

Answer 1

Para responder às duas questões, precisamos obter o valor do outro cateto e o valor da hipotenusa.
Para isto, vamos fazer inicialmente as seguintes considerações:

1. Vamos chamar ao ponto onde a altura encontra a hipotenusa de H. Assim, a altura será o segmento AH e, conforme o enunciado, mede 12 m. O cateto que mede 15 m será o cateto AC.

2. O ponto AH dividiu o triângulo ABC em dois outros triângulos retângulos:
ACH e BAH. Estes dois triângulos são semelhantes, pois os seguintes pares de ângulos são iguais:
AHC = BHA 
ACH = BAH
HAC = HBA

Vamos agora iniciar os cálculos necessários para obter os valores do cateto AB e da hipotenusa BC:

3. No triângulo ACH, o cateto AC (15 m) é a hipotenusa e a altura AH (12 m) é um cateto. Então, o segmento HC é o outro cateto e pode ser obtido pelo Teorema de Pitágoras:
AC² = AH² + HC²
15² = 12² + HC²
HC² = 225 - 144
HC = √81
HC = 9 m

4. Da semelhança citada no item 2, podemos escrever que:
AH/HC = BH/AH
Multiplicando os meios pelos extremos:
AH² = HC × BH
Substituindo os valores conhecidos:
12² = 9 × BH
BH = 144 ÷ 9
BH = 16 m

5. Como a soma dos segmentos BH e HC é igual à hipotenusa (BC), temos:
BC = 16 + 9
BC = 25 m

6. O valor do cateto AB do triângulo ABC, pode ser obtido pelo Teorema de Pitágoras:
BC² = AC² + AB²
AB² = 25² - 15²
AB = √625 - 225
AB = √400
AB = 20 m

7. Finalmente, podemos calcular o perímetro e a área:
7.1 - Perímetro:
AB + BC + AC = 20 + 25 + 15 = 60 m
7.2 - Área (S):
S = BC × AH ÷ 2
S = 25 × 12 ÷ 2
S = 150 m²
Obs.:A área do triângulo também pode ser obtida pelo semi-produto dos catetos:
S = AB × AC ÷ 2
S = 20 × 15 ÷ 2
S = 150 m²

R.: A alternativa correta, portanto, é a letra c) 60 m e 150 m²