Question

Num triângulo ABC, retângulo em A de hipotenusa 15cm, sabe-se que sen B = 4/5. Determine:

a) o cateto AC = x (Com explicações, se possível)

Answer 1

Dheyol,

O seno de um ângulo é igual à razão entre o cateto oposto a ele e a hipotenusa. Assim, o seno do ângulo B é igual a:

sen B = x/15

Como sabemos que 

sen B = 4/5

ficamos com:

4/5 = x/15

Multiplicando-se os meios e os extremos (em cruz):

5x = 4 × 15

x = 60 ÷ 5

x = 12 cm

Obs.: Se você quiser saber a medida de y, pode usar uma função trigonométrica ou o Teorema de Pitágoras:

15² = 12² + y²

y² = 225 - 144

y = √81

y = 9 cm

Answer 2

Vamos á.

Dheyol, como prometido, estamos voltando ao computador pra responder sua questão.

Note que, pelo desenho que você anexou,temos que:

hipotenusa (lado BC) = 15 cm
Cateto AC = x cm
Cateto AB = y cm

Foi dado que sen(B) = 4/5 . E, a partir disso, é pedido a medida do lado AC (que é o lado "x" cm).

Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Note que o seno de um ângulo, num triângulo retângulo, é igual ao cateto oposto a esse ângulo dividido pela hipotenusa.
No caso, teremos que  a relação será esta:

sen(B) = x/hipotenusa

Como sen(B) = 4/5 e a hipotenusa = 15 cm, teremos:

4/5 = x/15 ----- multiplicando-se em cruz, teremos:
15*4 = 5*x
60 =  5x ---- vamos apenas inverter, ficando:
5x = 60
x = 60/5
x = 12 cm <--- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a medida pedida do lado AB.

ii) Bem, a questão só pede a medida de "x", que é a que demos aí em cima (x = 12 cm).

Mas se você quisesse, por mera curiosidade, saber qual seria a medida do lado "y" (que é o lado "AB"), aí você iria ter duas formas principais para encontrar a medida de "y", que seriam: ou pela aplicação de Pitágoras (a hipotenusa ao quadrado é igual à soma de cada cateto ao quadrado), ou pela relação entre o cosseno do ângulo B e a hipotenusa.
Assim, você encontraria:

ii.1)  Aplicando Pitágoras:

15² = 12² + y²
225 = 144 + y² ---- passando "144" para o 1º membro, teremos:
225 - 144 = y²
81 = y² ---- vamos apenas inverter, ficando:
y² = 81
y = ± √(81) ----- como √(81) = 9, teremos:
y = ± 9 ----- tomando-se apenas a raiz positiva (pois o cateto não tem medida negativa), teremos;

y = 9 cm  <--- Esta seria a medida do lado "AB" (que é o lado "'y").

ii.2) Aplicando a relação cos(B) = y/hipotenusa.

Mas pra isso, teremos que encontrar qual é o cosseno de B a partir do seno, que já sabemos que é igual a 4/5.
Assim, pela primeira  relação fundamental da trigonometria, temos que:

sen²(x) + cos²(x) = 1---- substituindo-se seno por 4/5 e o arco "x" por "B", teremos:

(4/5)² + cos²(B) = 1
16/25 + cos²(B) = 1
cos²(B) = 1 - 16/25 ----- note que "1 - 16/25 = 9/25". Assim:
cos²(B) = 9/25
cos(B) = ± √(9/25) ----- note que √(9/25) = 3/5. Assim, substituindo, temos:
cos(B) = ± 3/5 ---- tomando-se apenas a raiz positiva, pois o ângulo é agudo, logo é do 1º quadrante, teremos:

cos(B) = 3/5 <--- Este seria o cosseno do ângulo B.

Agora veja: num triângulo retângulo o cosseno de um ângulo é igual à seguinte relação:

cos(x) = cateto adjacente/hipotenusa.

Note que o cateto adjacente ao ângulo B é o lado AB = y. Assim, substituindo cos(x) por cos(B), o cateto adjacente por "y" e a hipotenusa por "15", teríamos:

cos(B) = y/15 ---- como já vimos que cos(B) = 3/5, teremos:
3/5 = y/15 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
15*3 = 5*y
45 = 5y ---- vamos apenas inverter, ficando:
5y = 45
y = 45/5
y = 9 cm <---Veja que a medida é a mesma que encontramos pelo outro método (Pitágoras).

Bem, mas foi dada a medida do lado "y" apenas por mera curiosidade, pois a questão só pede a medida do lado "x" e isso já foi visto (x = 12 cm).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.