Question

Num triângulo ABC, retângulo em A, a hipotenusa mede 5 m. Sendo senC = 2senB, calcule as medidas dos catetos.

Answer 1

Boa tarde

hipotenusa hip = 5
sen(C) = 2sen(B) 
B + C = 90

como B + C = 90 temos 
sen(C) = cos(B) 

portanto
cos(BI = 2sen(B) 
sen(B)/cos(B) = 1/2 
tg(B) = 1/2 
B = arctg(1/2)
B = 26.57°
sen(B) = 0.447214

C = 90 - 26.57 
C = 63.43°
sen(C) = 0.894427

Pela Lei dos senos temos

5/sen(90) = B/sen(B) = C/sen(C) 

B/0.447214 = C/0.894427 = 5 

B ≈ 2.23607,
C ≈ 4.47214

Answer 2

Vamos chamar os catetos de $\text{b}$ e $\text{c}$.

Lembre-se que $\text{sen}~\text{x}=\dfrac{\text{cateto~oposto}}{\text{hipotenusa}}$.

Assim, podemos afirmar que:

$\text{sen}~\hat{\text{B}}=\dfrac{\text{b}}{5}$

$\text{sen}~\hat{\text{C}}=\dfrac{\text{c}}{5}$

Pelo enunciado, $\text{sen}~\hat{\text{C}}=2\cdot\text{sen}~\hat{\text{B}}$.

Ou seja, $\dfrac{\text{c}}{5}=2\cdot\dfrac{\text{b}}{5}$. Daí, concluímos que $\text{c}=2\text{b}$.

Pelo Teorema de Pitágoras, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Isto é, $\text{b}^2+\text{c}^2=5^2$

Substituindo $\text{c}$ por $2\text{b}$, obtemos:

$\text{b}^2+\text{c}^2=5^2 \iff \text{b}^2+(2\text{b})^2=25 \iff \text{b}^2+4\text{b}^2=25$

$5\text{b}^2=25 \iff \text{b}^2=\dfrac{25}{5} \iff \text{b}^2=5$

Logo, $\text{b}=\sqrt{5}$

Assim, $\text{c}=2\sqrt{5}$

Portanto, os catetos medem $\sqrt{5}$ e $2\sqrt{5}$.