Question

Num triângulo ABC, M é ponto médio de
AC
e N,
ponto médio de
BC
. A razão entre a área do
triângulo MNC e do quadrilátero ABNM será

Answer 1

Primeiro, vamos desenhar o triângulo, identificando os pontos conforme o enunciado da questão. Além deste pontos, vamos marcar ainda o ponto médio do lado AB e vamos chamá-lo de P.
Se agora unirmos os pontos médios dos lados AB, BC e AC, o triângulo original ABC ficou dividido em 4 triângulos:
AMP, PBN, MNC e MPN
Estes triângulos são iguais entre si, pois:
PM = CN = NB
AP = MN = PB
CM = NP = MA
Então, temos a igualdade entre os triângulos
AMP = PBN = MNC = MPN
e cada um deles tem a área correspondente a 1/4 da área total do triângulo ABC.
Assim, o quadrilátero ABMN é igual à soma dos triângulos AMP, PBN e MPN:
ABMN = AMP + PBN + MPN
e a razão entre as áreas do triângulo MNC e do quadrilátero ABMN será a razão entre as áreas destes triângulos:
MNC/ABMN = 1/3