Question

Num treinamento para um desfile, os soldados são dispostos na forma de um triângulo isósceles de modo que, na primeira fila, haja um soldado, na segunda fila haja três soldados, na terceira fila haja cinco soldados, e assim sucessivamente. Sabendo-se que foram treinados 289 soldados, o número de filas nesta formação é:

Answer 1

Olá.

A quantidade de filas é igual a 17.

Essa é uma questão de Progressão Aritmética (P.A).

Para resolver essa questão, devemos fazer algumas observações.

- Cada fileira pode ser vista como um termo de uma P.A.

- A primeira fileira ($\mathsf{a_1}$) possui apenas 1 soldado, enquanto a segunda ($\mathsf{a_2}$) possui 3. A razão da P.A será a diferença de termos consecutivos, então, ela será 2. Algebricamente:

$\mathsf{r=a_n-a_{n-1}=a_2-a_1=3-1=2}$

- A soma de termos dessa P.A vai ser igual a quantidade de soldados treinados, ou seja, 289.

- A soma de termos de uma P.A pode ser obtida através da seguinte fórmula:

$\mathsf{S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}}$

- O termo geral da P.A segue a fórmula:

$\mathsf{a_n=a_1+(n-1)r}$

Nessa questão teremos de usar um pouco de álgebra. Vamos aos cálculos.

A soma de termos dessa P.A, na fórmula, será:

$\mathsf{S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}}\\\\\mathsf{289=\dfrac{(1+a_n)n}{2}}\\\\\mathsf{289\cdot2=(1+a_n)n}\\\\\mathsf{578=(1+a_n)n}$

O meio mais prático para se seguir agora é decompor o 578 por fatores primos. Teremos:

$\begin{array}{r|l}\mathsf{578}&\mathsf{02}\\\mathsf{289}&\mathsf{17}\\\mathsf{017}&\mathsf{17}\\\mathsf{001}\end{array}$

Com isso, podemos continuar o cálculo.

$\mathsf{578=(1+a_n)n}\\\\\mathsf{2\cdot17\cdot17=(1+a_n)n}$

Agora, temos uma comparação de igualdades. O valor de n (quantidade de termos) tem que ser igual a um dos divisores de 578. Como 2 é um valor impossível para n (pois a soma de dois termos seria igual à 4 e não 289), podemos afirmar que a quantidade de termos é igual a 17 - então, já temos o número de filas. Todavia, é possível ir um pouco mais além para confirmar o resultado.

Com base no que foi supramencionado, teremos:

$\mathsf{2\cdot17\cdot17=(1+a_n)n}\\\\\mathsf{2\cdot17\cdot17=(1+a_n)17}\\\\\mathsf{2\cdot17=(1+a_n)}\\\\\mathsf{34=1+a_n}\\\\\mathsf{34-1=a_n}\\\\\mathsf{33=a_n}$

Temos que o 17° termo (o $\mathsf{a_n}$) vale 33. Podemos conferir se o valor de n realmente é 17 ao utilizar o termo geral da P.A para encontrar o 17° termo - se for 33, resposta correta. Vamos aos cálculos.

$\mathsf{a_n=a_1+(n-1)r}\\\\\mathsf{a_{17}=a_1+(17-1)2}\\\\\mathsf{33=1+(17-1)2}\\\\\mathsf{33=1+(16)2}\\\\\mathsf{33=1+32}\\\\\mathsf{33=33\ \checkmark}$

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.
Bons estudos.