Num trapézio, um lado não-base mede 6√2 cm, um ângulo adjacente mede 45°, a base menor vale 10 cm, e a medida do outro ângulo interno é 60°. Determinar o perímetro.
OBS. Duas respostas.
Soluções para a tarefa
Resposta:
Perímetro = ( 26 + 6√2 + 6√3 ) cm.
Explicação passo-a-passo:
Pedido : perímetro do trapézio ABCD ( abaixo esboçado).
Sei apenas as dimensões de dois lados. Faltam as dos outros dois.
Introdução explicativa do tipo de trapézio traçado.
Por definição um trapézio é um quadrilátero em que dois lados
( chamados de bases ) são paralelos ,enquanto os outros dois o não são e formando com a base maior ou dois ângulos agudos ou um ângulo reto e o outro agudo.
Sendo ambos os ângulos internos adjacentes à base maior
[ AB ] de amplitudes inferiores a 90º ,invalida que o trapézio seja trapézio retângulo.
( um destes ângulos teria que fazer com [AB] um ângulo reto).
Por outro lado, sendo de diferentes em amplitudes, os ângulos adjacentes à base AB, fazem com que se coloque de lado a possibilidade de os lados não paralelos do trapézio serem iguais. Logo não será trapézio isósceles.
Assim fiz o esboço de um trapézio escaleno ( lados não paralelos diferentes ).
Esboço da figura sugerida pelo enunciado.
( O lado que mede 6√2 é adjacente ao ângulo interno de 45º )
10 cm
D |*************| C
* | | * 6√2 cm
* | h | h *
* | | *
A |************ *|*************|*******************************| B
E 10 cm F
Dados suplementares:
∡ EAD = 60 º
∡ FBC = 45 º
∡ DEA = ∡ CFB = 90 º , como consequência de , por definição de altura do trapézio, esse segmento de reta é a perpendicular tirada, de qualquer um dos vértices da base menor [ CD ], para a outra base [ AB ]
h ⊥ [ AB ]
h = altura do trapézio ABCD
Cálculo de " h " usando o triângulo CFB e a razão trigonométrica seno de um ângulo .
sen ( ∡FBC ) = h / ( 6√2 ) ⇔ sen 45º = h / ( 6√2 )
⇔ √2 / 2 = h / ( 6√2 ) usando a lei das proporções em que
o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.
√2 e 6√2 são extremos enquanto que 2 e h são meios da proporção.
⇔ √2 * 6√2 = 2 * h ⇔ 6 * 2 = 2h ⇔ h = 6 cm
Cálculo de [ AD ]
Usando a função seno , utilizada com o ângulo ( ∡ EAD )
sen ( ∡ EAD ) = h / [ AD ] ⇔ sen 60 º = 6 / [ AD ]
⇔ √3/2 = 6 / [ AD ]
⇔ √3 * [ AD ] = 12 ⇔ [ AD ] = 12 / √3 cm
Racionalizando o denominador, [ AD ] = (12 √3 ) / ( √3 *√3 )
[ AD ] = ( 12 √3 ) / 3 ⇔ [ AD ] = 4 √3 cm
Cálculo de [ AB ]
[ AB ] = [ AE ] + [ EF ] + [ FB ] = [ AE ] + 10 + [ FB ]
O cálculo de [ AE ] e [ FB ] pode ser efetuado usando também razões trigonométricas ( neste caso cosseno ) de ângulos agudos de um triângulo retângulo.
Para dar uma perspetiva alternativa vou calcular pelo Teorema de Pitágoras.
Cálculo de [ AE ]
[ AD ] ² = h ² + [ AE ]² ⇔ ( 4 √3 )² = 36 + [ AE ]²
⇔ 48 - 36 = [ AE ]²
⇔ [ AE ] = √12 ⇔ [ AE ] = √(2² * 3) ⇔ [ AE ] = 2√3 cm
Cálculo de [ FB ]
( 6 √2 ) ² = 36 + [ FB ] ² = 72 - 36 = [ FB ] ² ⇔ [ FB ] = √36
⇔ [ FB ] = 6
[ AB ] = 2√3 + 10 + 6 ⇔ 16 + 2√3 cm
Calculo do Perímetro = 16 + 2√3 + 6 √2 + 10 + 4 √3 =
( 26 + 6√2 + 6√3) cm
Sinais : ( * ) multiplicar ( / ) dividir ( ⇔ ) equivalente a
Espero ter ajudado bem.
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Se tiver alguma dúvida me contacte através dos Comentários da pergunta.
Bom estudo e continuação de um bom dia para si.
Bom fim de semana.