Question

num terreno na forma de um triangulo retangulo com catetos medindo 40 e 50 metros, deseja-se construir uma casa retangular de dimensões x e y como indicado na figura. Para que área ocupada pela casa seja máxima, os valores de x e y devem ser, respectivamente iguais a
A) 20e 25
B) 24 e 30
C) 25 e 20
D) 30 e 24

Answer 1

por SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS,  vide figura, temos: 

40 / y = 30 / (30 - x)  →  3y = 120 - 4x → y = 120 - 4x / 3 

Fazendo a ÁREA DO RETÂNGULO, temos: 

Aret = x.y  →  Aret = x.(120 - 4x / 3)  →  Aret = 120x - 4x² / 3 (temos uma equação do 2º grau)

Para que a ÁREA seja MÁXIMA, temos que ter: 

Xmáx = -b / 2.a   

Xmáx = -120 / 3 / 2.(-4 / 3) 

Xmáx = -120 / -8 

Xmáx = 15m 

Substituindo o 'Xmáx' naquela primeira equação, temos: 

y = 120 - 4x / 3 

y = 120 - 4.15 / 3 

y = 120 - 60 / 3 

y = 60 / 3

y = 20m

Ou, pro semelhanças:

Proporção entre áreas dos triângulos menores e os catetos, sendo A1 cima e A2 baixo

A1/A2 =(50-y)/y ---> X(50-y) / (40-X)y = (50-Y)/ y ---> chegando em X=20 e Y = 25

Observe que a área ocupada pelo galpão seria o equivalente a dois daqueles triângulos sobressalentes ali. Logo, seria a metade da área total do triângulo, o que resulta em 500 m²= 20 x 25.