Question

Num terreno, na forma de triângulo retângulo, com catetos de medidas 60 metros e 80 metros, Sr. Pedro construiu uma casa retangular com a maior área possível, como na figura a seguir: Qual é a medida da área do terreno destinado à construção da casa em metros quadrados?

Answer 1

Chamemos a largura do terreno de X e a altura deste de Y. A área do terreno será, portanto, XY.

O cateto que mede 60m pode ser dividido em duas partes: X e (60 - X).
O cateto que mede 80m pode ser dividido também em duas partes: Y e (80 - Y).

Por semelhança entre os dois triângulos não sombreados, tem-se:

$\frac{80 - Y}{Y} = \frac{X}{60-X}$
(80 - Y)(60 - X) = XY
4800 - 60Y - 80X +XY = XY
60Y = 4800 - 80X
$Y = 80 - \frac{4X}{3}$

Com base nisso, podemos reescrever a área do terreno como:
$X.(80- \frac{4X}{3} ) = - \frac{4X^{2} }{3} + 80X$

Para achar a área máxima do terreno basta achar o valor máximo desta equação de 2º grau (Yv). (a = -4/3; b = 80; c = 0)

Yv = -Δ/4a = -(b² - 4ac)4a = 1200m².

Answer 2

A medida da área do terreno destinado à construção da casa, em metros quadrados, é 1200.

Observe a figura abaixo.

Se AC mede 80 metros e AD mede x metros, então a altura do retângulo medirá 80 - x metros.

Se BC mede 60 metros e CF mede y metros, então a base do retângulo medirá 60 - y metros.

Os triângulos ADE e EFC são semelhantes. Logo:

x/(60 - y) = (80 - x)/y

xy = (80 - x)(60 - y)

xy = 4800 - 80y - 60x + xy

60x + 80y = 4800

3x + 4y = 240

4y = 240 - 3x

y = 60 - 3x/4.

A área de um retângulo é igual ao produto da base pela altura.

Assim:

A = (60 - y)(80 - x)

A = (60 - 60 + 3x/4)(80 - x)

A = 60x - 3x²/4.

A área será máxima quando:

x = -60/2.(-3/4)

x = 60/6/4

x = 40 metros.

Logo, o valor de y é:

y = 60 - 3.40/4

y = 60 - 30

y = 30 metros.

A área do terreno é 40.30 = 1200 m².

Para mais informações sobre área máxima, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/18863328