Question

Num terreno irregular são marcados os seguintes pontos M(0,0,1), N(0,4,0) e O(2,0,0) segundo um referencial hipotético. Deseja-se marcar um ponto com coordenadas P(1,1,k) de forma que esses quatro pontos estejam sobre um plano em comum. Um aluno de engenharia deu a seguinte sugestão com base nos seus conhecimentos em geometria analítica.

Answer 1

Resposta:

k = 0

Resolução:

Equação geral do plano:

p: ax + by + cz = m

Vamos encontrar a equação do plano gerado por M, N e O. Basta substituirmos os valores de x, y e z correspondentes para cada um dos pontos na equação acima.

M: 0a + 0b + c = m

c = m;

N: 0a + 4b + 0c = m

b = m/4;

O: 2a + 0b + 0c = m

a = m/2.

Para encontrar a equação mais simples (existem infinitas soluções), devemos encontrar o menor m positivo tal que c = m, b = m/4 e a = m/2 sejam inteiros; obviamente, m = 4, logo c = 4, b = 1 e a = 2, sendo nossa equação do plano então

p: 2x + y + 4z = 4.

Para que P pertença ao plano, basta impôr a condição de que suas componentes x, y e z satisfaçam a equação acima; substituindo, resulta que

2 + 2 + 4k = 4

4k = 0

k = 0

Logo, P = (1, 1, 0).