Question

Num sistema de eixos cartesianos ortogonais, x+3y+4=0 e 2x-5y-2=0 são, respectivamente, as equações das retas r e s. Determine as coordenadas do ponto de interseção de r com s.

Answer 1

Isabela, para definirmos o ponto de intersecção entre as retas, temos que montar um sistema.

$\left\{\begin{matrix} x+3y+4 = 0 \\ 2x-5y-2=0 \end{matrix}\right.$

Porém, quando temos só número, podemos passa-lo para o outro lado, trocando apenas o sinal:

$\left\{\begin{matrix} x+3y = -4 \\ 2x-5y=2 \end{matrix}\right.$

Agora você pode resolver da maneira que quiser: pelo método de substituição ou cancelamento, pelo qual vou fazer para ser mais simples.

No método de cancelamento, você deixa um termo positivo numa equação e o mesmo termo positivo na outra equação. Caso eles não forem iguais, tiramos MMC, e caso tiverem sinais iguais, multiplicamos algum por sinal negativo.

$\left\{\begin{matrix} x+3y = -4 \ \ \times 5 \\ 2x-5y=2 \ \ \times 3 \end{matrix}\right. \\\\\\ \left\{\begin{matrix} 5x+15y = -20 \\ 6x-15y=6 \end{matrix}\right. \\\\ somando \\\\ 11x = -14 \\\\ \boxed{x = -\frac{14}{11}}$

Voltando em uma das equações:

$6x-15y=6 \\\\ 6 \cdot (-\frac{14}{11}) - 15y = 6 \\\\ -\frac{84}{11} - 15y = 6 \\\\ -15y = 6 + \frac{84}{11} \\\\ -15y = \frac{66}{11} + \frac{84}{11} \\\\ -15y = \frac{150}{11} \ \ \times (-1) \\\\ 15y = -\frac{150}{11} \\\\ y = \frac{\frac{-150}{11}}{\frac{15}{1}} \\\\ y = \frac{-150}{165}$

$simplificando \\\\ \boxed{y = -\frac{10}{11}}$


$\therefore \boxed{(-\frac{14}{11};-\frac{10}{11})}$

Answer 2

As coordenadas do ponto de interseção de r com s são x = -14/11 e y = -10/11.

Para calcularmos o ponto de interseção entre duas retas, precisamos substituir uma equação na outra.

Temos que as equações das retas são r: x + 3y + 4 = 0 e s: 2x - 5y - 2 = 0.

Da equação da reta r, podemos dizer que x = -3y - 4.

Substituindo o valor de x na equação da reta s:

2(-3y - 4) - 5y - 2 = 0

-6y - 8 - 5y - 2 = 0

-11y = 10

y = -10/11

y ≈ -0.91.

Com o valor de y, vamos substituir em x = -3y - 4:

x = -3(-10/11) - 4

x = 30/11 - 4

x = -14/11

x ≈ -1.27.

Portanto, o ponto de interseção entre as retas r e s é A = (-14/11,-10/11).

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