Question

Num sistema de coordenadas no plano, considere o ponto P(x,2), que é EQUIDISTANTE dos pontos A(3,1) e B(2,4). A abscissa x do ponto P é:

Answer 1

O termo equidistantes quer dizer que a distância de um ponto ao outro é a mesma, ou seja, aplicando esse conceito na questão, podemos dizer que a distância de dAP = dBP , já que a equidistância está no ponto P em relação aos outros. Primeiro vamos calcular a distância de A para P e depois de P para B;

• Distância dAP:

Para calcular a distância usaremos a fórmula da distância entre dois pontos que é dada genericamente pela seguinte fórmula:

$D_{a,p} = \sqrt{(x_p-x_a)^{2} + (y_p-y_a)^{2}}$

Organizando esses valores de x e y, temos:

$\begin{cases}A(3,1) \to x_a = 3 \: \: \: \: y_a = 1 \\ P(x,2) \to x_p = x \: \: \: y_p = 2\end{cases}$

Substituindo os dados na fórmula:

$D_{a,p} = \sqrt{(x-3)^{2} + (2-1)^{2}} \: \: \: \: \: \\ D_{a,p} = \sqrt{(x - 3).(x - 3) + (1)^{2}} \\ D_{a,p} = \sqrt{x {}^{2} - 6x + 9 + 1} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ D_{a,p} = \sqrt{x {}^{2} - 6x + 10} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Reserva esse dado.

• Distância dBP:

Faremos o mesmo processo:

$D_{b,p} = \sqrt{(x_p-x_b)^{2} + (y_p-y_b)^{2}}$

Dados:

$\begin{cases}B(2,4) \to x_b =2 \: \: \: \: y_b = 4\\ P(x,2) \to x_p = x \: \: \: y_p = 2\end{cases}$

Substituindo os dados na fórmula:

$D_{b,p} = \sqrt{(x - 2)^{2} + (2 - 4)^{2}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ D_{b,p} = \sqrt{(x - 2).(x - 2) + ( - 2)^{2}} \\ D_{b,p} = \sqrt{x {}^{2} - 4x + 4 + 4} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ D_{b,p} = \sqrt{x {}^{2} - 4x + 8 } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora vamos pegar essa expressão e a primeira que montamos e vamos igualá-las, pois como eu disse no começo as distâncias são iguais:

$D_{a,p} = D_{b,p} \\ \sqrt{x {}^{2} - 6x + 10} = \sqrt{x {}^{2} - 4x + 8 }$

Para sumir com as raízes basta elevar ambos os membros ao quadrado, então:

$( \sqrt{x {}^{2} - 6x + 10} ) {}^{2} = (\sqrt{x {}^{2} - 4x + 8 }) { }^{2} \\ x {}^{2} - 6x + 10 = x {}^{2} - 4x + 8 \\ x { }^{2} - x {}^{2} - 6x + 4x = 8 - 10 \\ - 2x = - 2 \\ x = \frac{ - 2}{ - 2} \\ \boxed{ \boxed{x = 1}}$

Espero ter ajudado