Question

Num sistema cartesiano utilizado num plano, P é a intersecção das retas 2x-y-7=0 e x-2y+7=0 , o ponto Q é o centro da circunferência x²+y²+2x-2y-2=0, e r é o raio dessa circunferência.
A distancia entre os pontos P e Q é igual a:
a)2r b)3r c)4r d)5r e)nda

Answer 1

Vamos lá.

Tem-se que o ponto P é o ponto de intersecção das retas abaixo:

2x - y - 7 = 0     . (I) 
e
x - 2y + 7 = 0      . (II) 

enquanto o ponto Q é o centro da circunferência cuja equação é esta:

x² + y² + 2x - 2y - 2 = 0.

Pede-se a distância entre os pontos P e Q.

Bem, vamos por parte. Primeiro vamos encontrar o ponto P, que é o ponto de intersecção entre as retas dadas, cujas equações são as expressões (I) e (II) acima. Vamos fazer o seguinte: multiplicaremos a expressão (II) por "-2" e, em seguida, somaremos, membro a membro, com a expressão (I). Assim, teremos:

2x - y - 7 = 0 --- [esta é a expressão (I) normal]
-2x+4y-14 = 0 --- [esta é a expressão (II) multiplicada por "-2"]
--------------------- somando membro a membro, temos:
0 + 3y - 21 = 0  ---- ou apenas:

3y - 21 = 0
3y = 21
y = 21/3
y = 7 <--- Este é o valor de "y".

Agora, para encontrar o valor de "x" vamos em quaisquer uma das expressões [ou na (I) ou na (II)]. Vamos na expressão (I), que é esta:

2x - y - 7 = 0 ---- substituindo "y" por "7", temos:

2x - 7 - 7 = 0
2x - 14 = 0
2x = 14
x = 14/2
x = 7 <--- Este é o valor de "x".

Assim, o ponto P terá a seguintes coordenadas:

P(7; 7) <--- Este é o ponto de intersecção entre as duas retas.

Agora vamos encontrar o centro da circunferência, cuja equação é esta:

x² + y² + 2x - 2y - 2 = 0

Vamos fazer o seguinte: na equação acima, vamos completar os quadrados, tendo o cuidado de subtrair aqueles números que forem acrescentados em função da formação dos quadrados. Antes, vamos ordenar os termos da equação, ficando:

x² + 2x + y² - 2y - 2 = 0 ---- agora vamos formar os quadrados, ficando:

(x+1)² - 1 (y-1)² - 1 - 2 = 0 ----- reduzindo os termos semelhantes, teremos:

(x+1)² + (y-1)² - 4 = 0
(x+1)² + (y-1)² = 4 ----- note que 4 = 2². Assim, teremos:

(x+1)² + (y-1)² = 2²    <--- Esta é a equação reduzida da circunferência da sua questão.   . (III)

Agora veja isto: uma circunferência que tenha centro em C(xo; yo) e raio = r, tem a seguinte equação reduzida:

(x-xo)² + (y-yo)² = r²      . (IV)

Agora compare as equações reduzidas (III) e (IV) e constate que a circunferência da sua questão tem centro em C(-1; 1) e raio = 2.

Finalmente, como já temos o ponto P(7; 7) e o centro da circunferência Q(-1; 1), vamos encontrar qual é a distância (d) pedida, que será dada por:

d² = (-1-7)² + (1-7)²
d² = (-8)² + (-6)²
d² = 64 + 36
d² = 100
d = +-√(100) ----- como  √(100) = 10, temos:

d = +-10 ------ como distância não é negativa, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

d = 10 u.m. ------ (u.m. = unidades de medida) <--- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a distância entre os pontos P e Q.

Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.